Robust Resource Allocation for Reconfigurable Intelligent Surface<strong>-</strong>Assisted Multi<strong>-</strong>User NOMA Networks

HU Lin; LIU Xi-yan; QI Qian; CHEN Qian-bin

doi:10.12263/DZXB.20240456

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ACTA ELECTRONICA SINICA ›› 2024, Vol. 52 ›› Issue (10) : 3359-3367. DOI: 10.12263/DZXB.20240456

PAPERS

Robust Resource Allocation for Reconfigurable Intelligent Surface-Assisted Multi-User NOMA Networks

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Abstract

In the scenario of imperfect channel state information (CSI) and imperfect successive interference cancellation (SIC), the problem of robust resource allocation in reconfigurable intelligent surface (RIS) assisted multi-user non-orthogonal multiple access (NOMA) is studied. Considering the constraints of two types of users (information user and energy user) quality of service (QoS) and information user SIC, a transmit power minimization problem is formulated. This optimization problem is a multi-variable coupled non-convex optimization problem. In this paper, the non-convex constraints of the problem are transformed by using relaxation variables, linear approximation, S-procedure, and sign-definiteness methods. Then, the optimization problem is decomposed into two sub-problems, Finally, the alternate optimization method is used to iteratively solve the above sub-problems. The simulation results show that the proposed approach has a good convergence behavior, realizes the robust allocation of resources and can effectively reduce the transmit power of the base station.

Key words

reconfigurable intelligent surface / non-orthogonal multiple access / imperfect channel state information / imperfect successive interference cancellation / transmit power optimization / power minimization

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HU Lin , LIU Xi-yan , QI Qian , CHEN Qian-bin. Robust Resource Allocation for Reconfigurable Intelligent Surface-Assisted Multi-User NOMA Networks[J]. Acta Electronica Sinica, 2024, 52(10): 3359-3367. https://doi.org/10.12263/DZXB.20240456

1 引言

在即将到来的第6代移动通信技术中，移动互联网连接的设备将非常密集，通信系统将会面临巨大的能量消耗问题^［1］.非正交多址接入（Non-Orthogonal Multiple Access，NOMA）凭借高接入能力和高频效的特点，近年来受到广泛的关注^［2］.功率域NOMA确保多个用户同时共享一个正交资源块，并在每个接收端通过串行干扰消除（Successive Interference Cancellation，SIC）来解码信息.可重构智能表面（Reconfigurable Intelligent Surface，RIS）可以灵活部署在现有基础设施上，通过对入射信号的角度进行调整，可以以极低的功耗重构无线信道.在RIS辅助的NOMA系统中，借助于RIS重构信道的能力，可以扩大用户间的信道差异性，从而能够有效的增强NOMA的性能^［3］.

文献^［4~6］研究了完美信道状态信息（Channel State Information，CSI）和完美SIC下RIS辅助NOMA网络功率最小化问题.其中，文献［4］提出了调节RIS相位来增大用户信道差异性的方案，提高了NOMA网络的性能.文献［5］考虑了RIS辅助的多用户NOMA网络的功率最小化问题.文献［6］研究了NOMA网络中的用户分组问题，提出了一种不依赖于发送波束赋形和RIS相移的低复杂度用户分组配对策略.

然而，上述研究均假设基站能精确的获取CSI，在实际场景中，完美CSI是极难获取的.基于此，文献^［7~9］研究了不完美CSI和完美SIC下的RIS辅助NOMA网络的功率最小化问题.文献［7］研究了窃听节点不完美CSI下的RIS辅助NOMA网络的鲁棒保密传输问题.文献［8］考虑了RIS辅助多用户NOMA网络的鲁棒波束赋形设计，实验结果表明，直连信道的不确定性对于网络有着更大的影响.文献［9］研究了连续相位和离散相位两种情况下的基站功率最小化问题.

由于接收端硬件能力不足，信息异构等因素的影响，完美SIC是很难实现的^［10］.因此，文献^［11~13］研究了完美CSI和不完美SIC下的RIS辅助NOMA网络的性能.文献［11］研究了在不完美SIC下，RIS辅助上行NOMA网络的功率最小化问题，提出了一种新的信号传播方式来消除组间干扰.文献［12］在RIS辅助NOMA网络中分析了完美SIC和不完美SIC对系统性能的影响.文献［13］将主动RIS引入多用户NOMA网络中，实验结果表明，相比较被动RIS，主动RIS能更有效降低发射功率.

综上所述，目前对于RIS辅助NOMA网络的研究往往只考虑不完美CSI和不完美SIC中的一种对于网络的影响，现有研究中没有考虑同时存在两种不完美因素影响下的RIS辅助多用户NOMA网络鲁棒资源分配问题的工作.此外，在现有研究中，通常仅考虑单一的信息用户或能量用户，关于两类用户的异构通信场景的研究不足，较少考虑到未来应用场景下对于信息传输和能量供应的多样化需求.

本文在不完美CSI和不完美SIC的场景下，构建了一个RIS辅助多用户NOMA网络框架，基站在RIS辅助下给信息用户和能量用户提供服务.不完美CSI使得用户服务质量（Quality of Service，QoS）约束变成含参数摄动的非凸约束，不完美SIC在NOMA用户端引入额外的干扰功率，使得非凸约束转化变得更加困难.如何开发出有效可行的算法，使基站在不准确的CSI和不完美SIC下合理分配功率资源，以最小的功率来满足两类用户的QoS需求是本文面临的挑战.

2 系统模型和问题描述

本文建立了RIS辅助的多用户NOMA下行链路模型，如图1所示.该模型由一个配备

N

根发射天线的基站、一个配备

M

个反射单元的RIS以及两个单天线信息用户（远距离用户U ₁和近距离用户U ₂）和一个单天线能量用户U ₃组成.

图1 RIS辅助的多用NOMA网络

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假设由于障碍物阻挡和严重的路径衰落，基站和用户之间没有直连链路.令基站到RIS、RIS到用户

k (1 \leq k \leq 3)

的信道表示为

H_{m} \in C^{M \times N}

、

h_{k, r} \in C^{M \times 1}

.定义RIS反射相移矩阵为

Φ = d i a g (\sqrt[]{a} e^{j θ_{1}}, \sqrt[]{a} e^{j θ_{2}}, \dots, \sqrt[]{a} e^{j θ_{M}}) \in

C^{M \times M}

，其中

θ_{m} \in

[0,2 π), \forall m \in \{1,2, \dots, M\}

表示反射相移系数.在实际场景中，通常希望RIS可以完全反射入射信号，因此设置振幅

a = 1

假设基站处采用线性预编码传输，则基站传输信号可以表示为

x = w_{1} s_{1} + w_{2} s_{2}

（1）

其中，

w_{k} \in C^{N \times 1} (1 \leq k \leq 2)

表示基站发送给用户

k

的主动波束赋形向量，

s_{k} \sim C N (0,1)

表示基站发送给用户

k

的符号信息.为了便于分析，定义矩阵

G_{k} = d i a g (h_{k, r}^{H}) H_{m}

为基站和用户

k (1 \leq k \leq 3)

之间的级联信道增益，令

e = {(e^{j θ_{1}}, e^{j θ_{2}}, \dots, e^{j θ_{M}})}^{H} \in C^{M \times 1}

，则信息用户和能量用户的接收信号分别表示为

y_{1} = e^{H} G_{1} w_{1} s_{1} + e^{H} G_{1} w_{2} s_{2} + n_{1}

（2）

y_{2} = e^{H} G_{2} w_{1} s_{1} + e^{H} G_{2} w_{2} s_{2} + n_{2}

（3）

y_{3} = e^{H} G_{3} w_{1} s_{1} + e^{H} G_{3} w_{2} s_{2} + n_{3}

（4）

其中，

n_{1}, n_{2}, n_{3} \sim C N (0, σ_{}^{2})

表示用户端的加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise，AWGN）.

在NOMA网络中，用户之间的解码顺序是由信道增益决定的.不失一般性，假设信息用户的信道增益满足

{|e^{H} G_{2}|}^{2} \geq {|e^{H} G_{1}|}^{2}

.为了保证弱信道增益用户的信号首先被解码，下列不等式应该成立：

{|e^{H} G_{k} w_{2}|}^{2} \leq {|e^{H} G_{k} w_{1}|}^{2}, k = 1,2

（5）

根据SIC解调原理，用户U ₂先解调用户U ₁的信号，并在解调完成后从叠加信号中删除其信号^［14］.因此，用户U ₂解调用户U ₁信号的SINR为

γ_{2,1} = \frac{{|e^{H} G_{2} w_{1}|}^{2}}{{|e^{H} G_{2} w_{2}|}^{2} + σ_{}^{2}}

（6）

用户U ₂从叠加信号中删除用户U ₁的信号，再解调自身信号的SINR表示为

γ_{2,2} = \frac{{|e^{H} G_{2} w_{2}|}^{2}}{τ {|e^{H} G_{2} w_{1}|}^{2} + σ_{}^{2}}

（7）

其中，

τ \in [0,1]

代表不完美SIC因子，

τ = 0

代表完美SIC，

0 < τ \leq 1

代表不完美SIC.

用户U ₁直接解调自身信号.则用户U ₁解调自身信号的SINR表示为

γ_{1,1} = \frac{{|e^{H} G_{1} w_{1}|}^{2}}{{|e^{H} G_{1} w_{2}|}^{2} + σ_{}^{2}}

（8）

用户U ₂解码用户U ₁信号的速率为

R_{2,1} = l o g_{2} (1 + γ_{2,1})

，用户U ₂解码自身信号的速率为

R_{2,2} = l o g_{2} (1 + γ_{2,2})

，用户U ₁解码自身信号的速率为

R_{1,1} = l o g_{2} (1 + γ_{1,1})

能量用户U ₃采用无线携能技术进行能量收集，忽略噪声功率影响，则能量用户收集的能量表示为

E = η (| e^{H} G_{3} w_{1} |^{2} + | e^{H} G_{3} w_{2} |^{2})

（9）

其中，

η \in (0,1)

为能量转化因子.

因为RIS被动反射的特性，RIS相关链路的CSI是难以获得的，因此，本文考虑不完美CSI引起的信道估计误差.基于有界信道误差模型^［15］，则有

G_{k} = {\hat{G}}_{k} + Δ G_{k}, {‖Δ G_{k}‖}_{F} \leq ξ_{k}

（10）

其中，

{\hat{G}}_{k} (1 \leq k \leq 3)

代表基站到用户

k

的级联信道估计值；

Δ G_{k} (1 \leq k \leq 3)

代表基站到用户

k

的级联信道估计误差；

ξ_{k} (1 \leq k \leq 3)

代表基站到用户

k

的信道估计误差区域半径.

据上所述，基于不完美CSI和不完美SIC的RIS辅助多用户 NOMA网络功率最小化的鲁棒传输问题可以表述为

\begin{array}{l} \underset{w_{1}, w_{2}, e}{m i n} ({‖w_{1}‖}^{2} + {‖w_{2}‖}^{2}) \\ s . t . C 1 : R_{k, k} \geq R_{t h k}, k = 1,2 \\ C 2 : R_{2,1} \geq R_{t h 1} \\ C 3 : {|e^{H} G_{k} w_{2}|}^{2} \leq {|e^{H} G_{k} w_{1}|}^{2}, k = 1,2 \\ C 4 : η ({|e^{H} G_{3} w_{1}|}^{2} + {|e^{H} G_{3} w_{2}|}^{2}) \geq E_{r e q} \\ C 5 : |e_{m}| = 1, m = 1,2, \dots, M \end{array}

（11）

其中，

C 1

为信息用户最小速率约束，

R_{t h k}

代表最小解码速率阈值；

C 2

和

C 3

为SIC约束，保证了SIC能够成功执行；

C 4

为能量用户最小能量收集约束，

E_{r e q}

代表最小能量收集阈值；

C 5

为RIS相移的单位模量约束.式（11）是一个非线性、多变量耦合的非凸优化问题，不易直接求解.

3 非凸约束的转化和问题重新表述

3.1 引入松弛变量转化约束 $C 1 ~ C 3$

为了转换非凸、非线性的约束条件，将约束

C 1

和约束

C 2

中速率表达式中的干扰加噪声功率作为松弛变量^［16］，则

C 1

、

C 2

可转化为式（12）~（17），引入松弛变量

λ_{1}

、

λ_{2}

，约束

C 3

可转化为式（18）~（21）.

{|e^{H} G_{1} w_{1}|}^{2} \geq β_{1} (2^{R_{t h 1}} - 1)

（12）

{|e^{H} G_{1} w_{2}|}^{2} + σ_{}^{2} \leq β_{1}

（13）

{|e^{H} G_{2} w_{2}|}^{2} \geq β_{2} (2^{R_{t h 2}} - 1)

（14）

τ {|e^{H} G_{2} w_{1}|}^{2} + σ_{}^{2} \leq β_{2}

（15）

{|e^{H} G_{2} w_{1}|}^{2} \geq β_{21} (2^{R_{t h 1}} - 1)

（16）

{|e^{H} G_{2} w_{2}|}^{2} + σ_{}^{2} \leq β_{21}

（17）

{|e^{H} G_{1} w_{1}|}^{2} \geq λ_{1}

（18）

{|e^{H} G_{1} w_{2}|}^{2} \leq λ_{1}

（19）

{|e^{H} G_{2} w_{1}|}^{2} \geq λ_{2}

（20）

{|e^{H} G_{2} w_{2}|}^{2} \leq λ_{2}

（21）

式（12）~（21）中的约束是含参数摄动的非凸约束，难以直接处理.可以把这些约束归为两类.分别进行处理.

3.1.1 第一类约束的处理

第一类约束包括式（12）、（14）、（16）、（18）、（20），下面以式（15）为例.其余各式转化过程和式（12）类似.

为处理式（12）中的非凸项，在定理1推导其线性近似.

定理1 设

w_{k, n}^{} (1 \leq k \leq 2)

和

e_{n}

为第n次迭代时获得的最优解，则根据一阶泰勒展开不等式，得

{|e^{H} G_{1} w_{1}|}^{2} \geq 2 R e (e_{n}^{H} G_{1} w_{1, n}^{} w_{1}^{H} G_{1}^{H} e) - e_{n}^{H} G_{1} w_{1, n}^{} w_{1, n}^{H} G_{1}^{H} e_{n}

（22）

将

G_{1} = {\hat{G}}_{1}^{} + Δ G_{1}

代入到式（22）的右边式子中，并根据迹的运算等式

T r (A^{H} B) = v e c^{H} (A) v e c (B)

和

T r (A B C D) = (v e c^{T} {(D))}^{T} (C^{T} \otimes A) v e c (B)

，则可得到

{|e^{H} ({\hat{G}}_{1}^{} + Δ G_{1}) w_{1}|}^{2}

在

(w_{1, n}^{}, e_{n})

处的线性近似为

v e c^{T} (Δ G_{1}) A_{1} v e c (Δ G_{1}^{*}) + 2 R e \{a_{1}^{T} v e c (Δ G_{1}^{*})\} + a_{1}

（23）

其中，

A_{1} = w_{1} w_{1, n}^{H} \otimes e^{*} e_{n}^{T} + w_{1, n}^{} w_{1}^{H} \otimes e_{n}^{*} e^{T} - w_{1, n} w_{1, n}^{H} \otimes e_{n}^{*} e_{n}^{T}

，

\begin{array}{l} a_{1}^{} = v e c (e e_{n}^{H} {\hat{G}}_{1}^{} w_{1, n}^{} w_{1}^{H}) + v e c (e_{n} e_{}^{H} {\hat{G}}_{1}^{} w_{1}^{} w_{1, n}^{H}) \\ - v e c (e_{n} e_{n}^{H} {\hat{G}}_{1}^{} w_{1, n}^{} w_{1, n}^{H}), \end{array}

a_{1} = 2 R e (e_{n}^{H} {\hat{G}}_{1}^{} w_{1, n}^{} w_{1}^{H} {\hat{G}}_{1}^{H} e) - e_{n}^{H} {\hat{G}}_{1}^{} w_{1, n}^{} w_{1, n}^{H} {\hat{G}}_{1}^{H} e_{n} .

式（23）仍含多个线性不等式，根据定理2，可将其转换为确定性约束.

定理2（S-程序^［17］）定义变量

x \in C^{N \times 1}

的二次函数形式为

f_{i} (x) = x^{H} W_{i} x + 2 R e (w_{i}^{H} x) + w_{i}

，其中：

i = 0, \dots, P, W_{i} = W_{i}^{H}

.当且仅当存在

\forall i, ϖ_{i} \geq 0

时，

{\{f_{i} (x) \geq 0\}}_{i = 1}^{P} \Rightarrow f_{0} (x) \geq 0

成立，则有

[\begin{matrix} W_{0} & w_{0}^{} \\ w_{0}^{H} & w_{0} \end{matrix}] - \sum_{i = 1}^{P} ϖ_{i} [\begin{matrix} W_{i} & w_{i}^{} \\ w_{i}^{H} & w_{i} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（24）

借助于命题2转化式（24）.通过设置定理2中的参数来代换约束变量，引入松弛变量

ϖ_{1} \geq 0

，并且，令：

P = 1, W_{0} = A_{1}, w_{0} = a_{1}^{}, w_{0} = a_{1} - β_{1} (2^{R_{t h 1}} - 1), W_{1} = - I,

x = v e c (Δ G_{1}^{*}), w_{1} = ξ_{1}^{2},

则可得到

[\begin{matrix} ϖ_{1} I_{M N} + A_{1} & a_{1}^{} \\ a_{1}^{T} & C_{1} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（25）

其中，

C_{1} = a_{1} - β_{1} (2^{R_{t h 1}} - 1) - ϖ_{1} ξ_{1}^{2}

类似式（12）转为式（25）的处理，式（14）可转为

[\begin{matrix} ϖ_{2} I_{M N} + A_{2} & a_{2}^{} \\ a_{2}^{T} & C_{2} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（26）

其中，

ϖ_{2} \geq 0

是引入的松弛变量，

A_{2} = w_{2} w_{2, n}^{H} \otimes e^{*} e_{n}^{T} + w_{2, n}^{} w_{2}^{H} \otimes e_{n}^{*} e^{T} - w_{2, n}^{} w_{2, n}^{H} \otimes e_{n}^{*} e_{n}^{T},

\begin{array}{l} a_{2}^{} = v e c (e e_{n}^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{2, n}^{} w_{2}^{H}) + v e c (e_{n} e_{}^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{2}^{} w_{2, n}^{H}) \\ - v e c (e_{n} e_{n}^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{2, n}^{} w_{2, n}^{H}), \end{array}

a_{2} = 2 R e (e_{n}^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{2, n}^{} {\hat{G}}_{2}^{H} e) - e_{n}^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{2, n}^{} w_{2, n}^{H} {\hat{G}}_{2}^{H} e_{n},

C_{2} = a_{2} - β_{2} (2^{R_{t h 2}} - 1) - ϖ_{2} ξ_{2}^{2} .

类似式（12）转为式（25）的处理，式（16）可转为

[\begin{matrix} ϖ_{21} I_{M N} + A_{21} & a_{21}^{} \\ a_{21}^{T} & C_{21} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（27）

其中，

ϖ_{21} \geq 0

是引入的松弛变量，

A_{21} = A_{1}

，

\begin{array}{l} a_{21}^{} = v e c (e e_{n}^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{1, n}^{} w_{1}^{H}) + v e c (e_{n} e_{}^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{1}^{} w_{1, n}^{H}) \\ + v e c (e_{n} e_{}^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{1}^{} w_{1, n}^{H}), \end{array}

a_{21} = 2 R e (e_{n}^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{1, n}^{} {\hat{G}}_{2}^{H} e) - e_{n}^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{1, n}^{} w_{1, n}^{H} {\hat{G}}_{2}^{H} e_{n},

C_{21} = a_{21} - β_{21} (2^{R_{t h 1}} - 1) - ϖ_{21} ξ_{2}^{2} .

类似式（12）转为式（25）的处理，式（18）可转为

[\begin{matrix} ϖ_{3} I_{M N} + A_{3} & a_{3}^{} \\ a_{3}^{T} & C_{3} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（28）

其中，

ϖ_{3} \geq 0

是引入的松弛变量，

A_{3} = A_{1}

，

a_{3}^{} = a_{1}^{}

，

a_{3} =

a_{1}

，

C_{3} = a_{3} - λ_{1} - ϖ_{3} ξ_{1}^{2}

类似式（12）转为式（25）的处理，式（20）可转为

[\begin{matrix} ϖ_{4} I_{M N} + A_{4} & a_{4}^{} \\ a_{4}^{T} & C_{4} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（29）

其中，

ϖ_{4} \geq 0

是引入的松弛变量，

A_{4} = A_{1}

，

a_{4}^{} = a_{21}^{}

，

a_{4} =

a_{21}

，

C_{4} = a_{4} - λ_{2} - ϖ_{4} ξ_{2}^{2}

3.1.2 第二类约束的处理

第二类约束包含式（13）、（15）、（17）、（19）、（21）.下面以式（13）为例.其余各式和式（13）转化过程类似.

为了处理式（13）中的信道不确定性，根据舒尔补引理，式（13）可先转化为

[\begin{matrix} β_{1} - σ_{}^{2} & t_{1}^{H} \\ t_{1}^{} & 1 \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（30）

其中，

t_{1}^{} = {(e^{H} G_{1} w_{2})}^{H}

.将

G_{1} = {\hat{G}}_{1} + Δ G_{1}

代入式（30）中，可得到矩阵不等式约束为

[\begin{matrix} β_{1} - σ_{}^{2} & {\hat{t}}_{1}^{H} \\ {\hat{t}}_{1} & 1 \end{matrix}] \underset{̲}{≻} - [\begin{matrix} 0 \\ w_{2}^{H} \end{matrix}] Δ G_{1}^{H} [\begin{matrix} e & 0 \end{matrix}] - [\begin{matrix} e^{H} \\ 0 \end{matrix}] Δ G_{1}^{} [\begin{matrix} 0 & w_{2}^{} \end{matrix}]

（31）

其中，

{\hat{t}}_{1} = {(e^{H} {\hat{G}}_{1}^{} w_{2}^{})}^{H}

为了处理式（31）中的不确定性参数，引入定理3，借助符号定性法对其进行处理.

定理3（符号定性法^［18］）对于给定的矩阵

W = W^{H}, {\{Y_{i}, Z_{i}\}}_{i = 1}^{P},

线性矩阵不等式满足下列不等式

W \geq \sum_{i = 1}^{P} (Y_{i}^{H} X_{i} Z_{i} + Z_{i}^{H} X_{i}^{H} Y_{i}^{}), \forall i, | | X_{i} | |_{F} \leq ξ_{i,}

，当且仅当存在实数

\forall_{i}, μ_{i} \geq 0

时，有

[\begin{matrix} W - \sum_{i = 1}^{P} μ_{i} Z_{i}^{H} Z_{i} & - ξ_{1} Y_{1}^{H} & \dots & - ξ_{P} Y_{P}^{H} \\ - ξ_{1} Y_{1}^{} & μ_{1} I & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ - ξ_{P} Y_{P}^{} & 0 & \dots & μ_{p} I \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（32）

基于命题3，引入松弛变量

μ_{1} \geq 0

，令

W = [\begin{matrix} β_{1} - σ_{}^{2} & {\hat{t}}_{1}^{H} \\ {\hat{t}}_{1} & 1 \end{matrix}]

，

Y = - [\begin{matrix} 0 & w_{2}^{} \end{matrix}]

，

Z = [\begin{matrix} e & 0 \end{matrix}]

，

X = Δ G_{1}^{H}

，

P = 1

，则式（32）可转为

[\begin{matrix} β_{1} - σ_{}^{2} - μ_{1} M & {\hat{t}}_{1}^{H} & 0_{1 \times N} \\ {\hat{t}}_{1} & 1 & ξ_{1} w_{2}^{H} \\ 0_{N \times 1} & ξ_{1} w_{2}^{} & μ_{1} I_{N} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（33）

类似式（13）转为（33）的处理，式（15）可转为

[\begin{matrix} β_{2} - σ_{}^{2} - μ_{2} M & {\hat{t}}_{2}^{H} & 0_{1 \times N} \\ {\hat{t}}_{2} & 1 & ξ_{2} \sqrt[]{τ} w_{1}^{H} \\ 0_{N \times 1} & ξ_{2} \sqrt[]{ϵ} w_{1}^{} & μ_{2} I_{N} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（34）

其中，

{\hat{t}}_{2} = \sqrt[]{τ} {(e^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{1}^{})}^{H},

μ_{2} \geq 0

是松弛变量.

类似式（13）转为（33）的处理，式（17）可转为

[\begin{matrix} β_{21} - σ_{}^{2} - μ_{21} M & {\hat{t}}_{21}^{H} & 0_{1 \times N} \\ {\hat{t}}_{21} & 1 & ξ_{2} w_{2}^{H} \\ 0_{N \times 1} & ξ_{2} w_{2}^{} & μ_{21} I_{N} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（35）

其中，

{\hat{t}}_{21} = {(e^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{2}^{})}^{H},

μ_{21} \geq 0

是松弛变量.

类似式（13）转为（33）的处理，式（19）可转为

[\begin{matrix} λ_{1} - μ_{3} M & {\hat{t}}_{3}^{H} & 0_{1 \times N} \\ {\hat{t}}_{3} & 1 & ξ_{1} w_{2}^{H} \\ 0_{N \times 1} & ξ_{1} w_{2}^{} & μ_{3} I_{N} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（36）

其中，

{\hat{t}}_{3} = {(e^{H} {\hat{G}}_{1} w_{2}^{})}^{H},

μ_{3} \geq 0

是松弛变量.

类似式（13）转为（33）的处理，式（21）可转为

[\begin{matrix} λ_{2} - μ_{4} M & {\hat{t}}_{4}^{H} & 0_{1 \times N} \\ {\hat{t}}_{4} & 1 & ξ_{2} w_{2}^{H} \\ 0_{N \times 1} & ξ_{2} w_{2}^{} & μ_{4} I_{N} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（37）

其中，

{\hat{t}}_{4} = {(e^{H} {\hat{G}}_{2}^{} w_{2}^{})}^{H}, μ_{4} \geq 0

是引入的松弛变量.

3.2 最小能量收集约束 $C 4$ 的转化

对于约束

C 4

，首先将其转化成

{|e^{H} G_{3} w_{1}|}^{2} + {|e^{H} G_{3} w_{2}|}^{2} \geq \frac{E_{r e q}}{η}

（38）

根据定理1和导数加法原则^［15］，可以得到

{|e^{H} G_{3} w_{1}|}^{2} +

{|e^{H} G_{3} w_{2}|}^{2}

在

(w_{i, n}^{}, e_{n}), i = 1,2

处线性近似为

\sum_{i = 1}^{2} (v e c^{T} (Δ G_{3}) B_{i} v e c (Δ G_{3}^{*}) + 2 R e (b_{i}^{T} v e c (Δ G_{3}^{*})) + b_{i})

（39）

其中，

B_{i} = w_{i} w_{i, n}^{H} \otimes e^{*} e_{n}^{T} + w_{i, n}^{} w_{i}^{H} \otimes e_{n}^{*} e^{T} - w_{i, n}^{} w_{i, n}^{H} \otimes e_{n}^{*} e_{n}^{T},

b_{i}^{} = v e c (e e_{n}^{H} {\hat{G}}_{3} w_{i, n}^{} w_{i}^{H}) + v e c (e_{n} e_{}^{H} {\hat{G}}_{3} w_{i}^{} w_{i, n}^{H})

- v e c (e_{n} e_{n}^{H} {\hat{G}}_{3} w_{i, n}^{} w_{i, n}^{H}),

b_{i} = 2 R e (e_{n}^{H} {\hat{G}}_{3} w_{i, n}^{} w_{i}^{H} {\hat{G}}_{3}^{H} e) - e_{n}^{H} {\hat{G}}_{3} w_{i, n}^{} w_{i, n}^{H} {\hat{G}}_{3}^{H} e_{n} .

定义以下变量转化式（39）

\begin{array}{l} A_{5} = \sum_{i = 1}^{2} B_{i} = (w_{1} w_{1, n}^{H} + w_{2} w_{2, n}^{H}) \otimes e^{*} e_{n}^{T} \\ + (w_{1, n}^{} w_{1}^{H} + w_{2, n}^{} w_{2}^{H}) \otimes e_{n}^{*} e^{T} \\ - (w_{1, n}^{} w_{1, n}^{H} + w_{2, n}^{} w_{2, n}^{H}) \otimes e_{n}^{*} e_{n}^{T}, \end{array}

\begin{array}{l} a_{5}^{} = \sum_{i = 1}^{2} b_{i} = v e c (e e_{n}^{H} {\hat{G}}_{3}^{} (w_{1, n}^{} w_{1}^{H} + w_{2, n}^{} w_{2}^{H})) \\ + v e c (e_{n} e_{}^{H} {\hat{G}}_{3}^{} (w_{1}^{} w_{1, n}^{H} + w_{2}^{} w_{2, n}^{H})) \\ - v e c (e_{n} e_{n}^{H} {\hat{G}}_{3}^{} (w_{1, n}^{} w_{1, n}^{H} + w_{2, n}^{} w_{2, n}^{H})), \end{array}

\begin{array}{l} a_{5} = \sum_{i = 1}^{2} b_{i} = 2 R e (e_{n}^{H} {\hat{G}}_{3}^{} (w_{1, n}^{} w_{1}^{H} + w_{2, n}^{} w_{2}^{H}) {\hat{G}}_{3}^{H} e) \\ - e_{n}^{H} {\hat{G}}_{3}^{} (w_{1, n}^{} w_{1, n}^{H} + w_{2, n}^{} w_{2, n}^{H}) {\hat{G}}_{3}^{H} e_{n} . \end{array}

借助上面定义的变量，则可以将式（39）改写为

v e c^{T} (Δ G_{3}) A_{5} v e c (Δ G_{3}^{*}) + 2 R e (a_{5}^{T} v e c (Δ G_{3}^{*})) + a_{5}

（40）

根据命题2，式（40）可转为

[\begin{matrix} ϖ_{5} I_{M N} + A_{5} & a_{5}^{} \\ a_{5}^{T} & C_{5} \end{matrix}] \underset{̲}{≻} 0

（41）

其中，

ϖ_{5} \geq 0

是松弛变量，

C_{5} = a_{5} - \frac{E_{r e q}}{η} - ϖ_{5} ξ_{3}^{2}

3.3 优化问题的重新表述

至此，所有含信道不确定性的约束都转换为确定性约束，故可将优化问题（11）重新表述为

\begin{array}{l} \underset{w_{1}, w_{2}, e, ψ}{m i n} ({‖w_{1}‖}^{2} + {‖w_{2}‖}^{2}) \\ s . t . C 1 : (25) ~ (29), (33) ~ (37), (41) \\ C 2 : |e_{m}| = 1, m = 1,2, \dots, M \\ C 3 : ϖ_{1}, ϖ_{2}, ϖ_{21}, ϖ_{3}, ϖ_{4}, ϖ_{5} \geq 0 \\ C 4 : μ_{1}, μ_{2}, μ_{21}, μ_{3}, μ_{4} \geq 0 \end{array}

（42）

ψ = {ϖ_{1}, ϖ_{2}, ϖ_{21}, ϖ_{3}, ϖ_{4}, ϖ_{5}, μ_{1}, μ_{2}, μ_{21}, μ_{3}, μ_{4}, β_{1}, β_{2}, β_{21},

λ_{1}, λ_{2}}

为引入的松弛变量.

4 交替优化算法设计

因为式（42）中基站端主动波束赋形向量和RIS端被动波束赋形向量是高度耦合的，直接求解困难，因此本文将其分解成基站主动波束赋形子问题和RIS被动波束赋形子问题，在两个子问题中采用迭代优化的方式来进行求解.

4.1 基站主动波束赋形子问题

当给定被动波束赋形向量

e

后，基站主动波束赋形优化子问题可以表述为

\begin{array}{l} \underset{w_{1}, w_{2}, ψ}{m i n} ({‖w_{1}‖}^{2} + {‖w_{2}‖}^{2}) \\ s . t . C 1 : (25) ~ (29), (33) ~ (37), (41) \\ C 2 : ϖ_{1}, ϖ_{2}, ϖ_{21}, ϖ_{3}, ϖ_{4}, ϖ_{5} \geq 0 \\ C 3 : μ_{1}, μ_{2}, μ_{21}, μ_{3}, μ_{4} \geq 0 \end{array}

（43）

式（43）是一个标准的凸半正定规划（Semi-Definite Programming，SDP）问题，可通过CVX工具箱求解.

4.2 RIS被动波束赋形子问题

当给定主动波束赋形向量

w_{1}

和

w_{2}

后，被动波束赋形子问题变为被动波束赋形向量

e

的可行性求解问题.为了使可行性求解问题具有更好的收敛性，引入松弛变量

p_{1}, p_{2}, p_{21}

为SINR残差，松弛变量

φ

为能量收集残差^［19］，使用

β_{1} (2^{R_{t h 1}} - 1) + p_{1}

代替式（12）的

β_{1} (2^{R_{t h 1}} - 1)

，使用

β_{2} (2^{R_{t h 2}} - 1) + p_{2}

代替式（14）中的

β_{2} (2^{R_{t h 2}} - 1)

，使用

β_{21} (2^{R_{t h 1}} - 1) + p_{21}

代替式（16）中的

β_{21} (2^{R_{t h 1}} - 1)

，使用

E_{r e q} + φ

代替约束

C 4

中的

E_{r e q}

后，可得

\begin{array}{l} \underset{p_{1}, p_{2}, p_{21} φ, e, ψ}{m a x} (p_{1} + p_{2} + p_{21} + φ) \\ s . t . C 1 : (25) ~ (29), (33) ~ (37), (41) \\ C 2 : |e_{m}| = 1, m = 1,2, \dots, M \\ C 3 : ϖ_{1}, ϖ_{2}, ϖ_{21}, ϖ_{3}, ϖ_{4}, ϖ_{5} \geq 0 \\ C 4 : μ_{1}, μ_{2}, μ_{21}, μ_{3}, μ_{4} \geq 0 \\ C 4 : |e_{m}| = 1, m = 1,2, \dots, M \end{array}

（44）

式（44）因为单位模量约束的存在，仍不能求解.本文采用惩罚凸凹过程来找到一个满足单位模量约束的可行解^［20］.首先，将约束

C 5

写成

1 \leq {|e_{m}|}^{2} \leq 1

，然后将

1 \leq {|e_{m}|}^{2}

在

e_{m, t}^{}

处线性近似为

| e_{m, t}^{} |^{2} - 2 R e (e_{m}^{*} e_{m, t}^{}) \leq - 1

.可得

\begin{array}{l} \underset{p_{1}, p_{2}, p_{21} φ, e, g, ψ}{m a x} (p_{1} + p_{2} + p_{21} + φ - χ_{t} \sum_{m = 1}^{2 M} g_{m}) \\ s . t . C 1 : (25) ~ (29), (33) ~ (37), (41) \\ C 2 : | e_{m, t}^{} |^{2} - 2 R e (e_{m}^{*} e_{m, t}^{}) \leq g_{m} - 1, \forall m \in M \\ C 3 : | e_{m} |^{2} \leq 1 + g_{M + m}, \forall m \in M \\ C 4 : g \geq 0 \\ C 5 : ϖ_{1}, ϖ_{2}, ϖ_{21}, ϖ_{3}, ϖ_{4}, ϖ_{5} \geq 0 \\ C 6 : μ_{1}, μ_{2}, μ_{21}, μ_{3}, μ_{4} \geq 0 \end{array}

（45）

其中，

g = {(g_{1}, \dots, g_{2 M})}^{T}

为单位模量约束等价线性约束的松弛变量，

\sum_{m = 1}^{2 M} g_{m}

是目标函数中的惩罚项，

χ_{t}

为正则化因子.式（45）是一个标准的凸SDP问题，可利用CVX工具箱求解.因此，可设计算法1求解被动波束赋性子问题.

综上所述，可通过交替优化子问题（43）和子问题（45）来求得原问题（42）的解，具体过程如算法2所示.

算法1　　被动波束赋性优化算法

初始化迭代次数 $t = 0, e_{0}, τ_{0} > 1$ ,收敛精度 $υ_{1} = 10^{- 3}, υ_{2} = 10^{- 3}$ .

重复.

IF $t < T_{m a x}$ .

根据问题(45)更新 $e_{t + 1}$ .

$χ_{t + 1} = m i n {τ χ_{t}, χ_{m a x}}$ .

$t = t + 1$ .

否则.

重新初始化 $e_{0}, τ_{0} > 1, t = 0$ .

END IF.

直到 $| | g | |_{1} \leq υ_{1}$ 且 $| | e_{t} - e_{t - 1} | |_{1} \leq υ_{2}$ .

输出 $e_{n + 1} = e_{t}$ .

算法2　　基于迭代优化的鲁棒功率最小化算法

初始化迭代次数 $n = 0,$ 波束赋形向量 $w_{1,0}^{}, w_{2,0}^{}, e_{0},$ 收敛精度 $τ = 10^{- 3}$ .

重复.

根据 $e_{n}$ 求解问题(43),得到主动波束成形向量 $w_{1, n}^{}$ , $w_{2, n}^{}$ .

根据 $w_{1, n}^{}, w_{2, n}^{}$ 求解问题(45),得到被动波束成形向量 $e_{n + 1}$ .

$n = n + 1$ .

直到 $| P_{n} - P_{n - 1} | \leq τ$ .

输出 $w_{1, n}^{}$ 、 $w_{2, n}^{}$ ,BS发射总功率 $P_{n}$ .

5 性能分析

5.1 收敛性分析

定义问题（42）的目标值为

F (W, e)

，其中，

W =

[w_{1}, w_{2}]

，在第

n + 1

次迭代时，有

F (W_{n}, e_{n}) \geq F (W_{n + 1}, e_{n})

（46）

W_{n + 1}

通过优化子问题（43）得到，用CVX求解子问题（43）后得到最优解

W_{n + 1}

，

W_{n + 1}

是不大于

W_{n}

的，因此，式（46）成立.在给定

W_{n + 1}

后，下列等式成立

F (W_{n + 1}, e_{n}) = F (W_{n + 1}, e_{n + 1})

（47）

e_{n + 1}

是通过优化子问题（45）而来，用CVX求解子问题（45）后得到最优解

e_{n + 1}

，而问题（42）的目标值为

F (W, e)

，不依赖于

e

，所以等式（47）成立.结合式（46）和式（47），可得下列不等式

F (W_{n}, e_{n}) \geq F (W_{n + 1}, e_{n + 1})

（48）

式（48）表明，在第

n + 1

次迭代时，问题（42）的目标值是不大于第

n

次迭代时问题（42）的目标值的，且目标值一定存在下界，故采用交替优化方法可以保证算法的收敛性.

5.2 复杂度分析

由文献［20］可知，求解式（43）的复杂度可表示为

O_{w} = O [6 (M N + 1) + 5 {(N + 2)]}^{1 / 2} n_{1} [n_{1}^{2} + 6 n_{1} {(M N + 1)}^{2} +

5 n_{1} {(N + 2)}^{2} + 6 {(M N + 1)}^{3} + 5 {(K + 2)}^{3}]

，其中，

n_{1} =

2 N .

求解式（45）的复杂度可表示为

O_{e} = [6 {(M N + 1) + 10 + 2 M]}^{1 / 2} n_{2} [n_{2}^{2} + n_{2} [6 {(M N + 1)}^{2} +

20] + 6 {(M N + 1)}^{3} + 40

+ n_{2} M]

，其中，

n_{2} = M

.因此，求解式（11）的复杂度为

O_{w} + O_{e}

.接下来，分析SDR算法的复杂度.由文献［15］得，SDR算法求解式（43）的复杂度为

O_{w (S D R)} = O [6 (M N + 1) + n_{3}]^{2} n_{3} [n_{3}^{2} + n_{3} (6 {(M N + 1)}^{2} + n_{3})

+ 2 N^{3} + 6 {(M N + 1)}^{3}]

，其中，

n_{3} =

2 N^{2}

.SDR算法求解式（45）的复杂度可表示为

O_{e (S D R)} = O [6 (M N + 1) + n_{4}]^{1 / 2} n_{4}^{2} [n_{4}^{4} + n_{4}^{2} (6 (M N + 1) + n_{4}^{2})

+ 6 {(M N + 1)}^{3} + n_{4}^{3}]

，其中，

n_{4} = M

.因此，SDR算法求解式‍（11）的复杂度为

O_{w (S D R)} + O_{e (S D R)}

.经过比较，本文算法复杂度略低于SDR算法的复杂度.

6 仿真结果及分析

本节通过仿真来测试和验证该文所提算法的性能.假设基站位于（0 m，0 m）处，RIS位于（50 m，10 m）处，近距离用户位于（60 m，0 m）处，远距离用户位于（70 m，0 m）处，能量用户位于（55 m，0 m）处.假设仿真系统的信道模型包括大尺度衰落和小尺度衰落，大尺度衰落模型为

P L_{i} = - P L_{0} - 10 ρ_{i} l o g_{10} (d_{0})

，

i = 1,2

，其中

ρ_{i}

为路径损耗因子，

ρ_{1} = 2.2

代表基站到RIS的路径损耗因子，

ρ_{2} = 2

代表RIS到用户的路径损耗因子；

d_{0}

为链路距离，单位是米；

P L_{0} = - 30 d B

为参考距离为1 m时的路径损耗.小尺度衰落服从瑞利衰落.各级联信道的非完美CSI的误差半径区域相同，即

ξ_{1} = ξ_{2} = ξ_{3} = ξ_{}

.信息用户最小速率阈值

R_{t h 1} = R_{t h 2}

= R_{t h}

，如无特殊声明，系统仿真参数如表1所示.本文实验结果取自100次随机信道的平均值.

表1 具体仿真参数

参数	数值
$N$	6
$M$	6
$η$	0.7
$ξ$	10^-3
$τ$	0.1
$σ^{2}$	－90/dBm
$E_{r e q}$	1×10^-5/W
$R_{t h}$	1/(bit/s/Hz)

为了验证本文算法的有效性，将本文算法与以下两种基准算法进行对比.OMA鲁棒算法：使用时分多址（Time Division Multiple Access，TDMA）进行复用，并采用本文算法对CSI误差进行了鲁棒设计；随机相位算法：在RIS辅助多用户NOMA网络中，RIS采用随机相移，不做优化，只采用本文算法优化基站主动波束赋形.

图2给出了本文算法的收敛性.可以看出，本文算法在经过5次迭代后可以收敛，说明本文算法具有较好的收敛性.此外，因为用户U ₁的信道增益弱于用户U ₂，为了保证弱用户的数据速率，所以基站分配给用户U ₁的功率高于分配给用户U ₂的功率.

图2 发射功率收敛图

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图3描述了RIS反射单元数量与基站发射功率的关系.可以看出，三种算法中基站所需发射功率均随RIS反射单元数量的增加而减少，这表明RIS的反射单元数量越多，改善信道的效果越明显.此外，本文算法的发射功率低于随机相位算法和鲁棒OMA算法，显示了本文算法的优越性.

图3 RIS反射单元数与发射功率的关系

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图4绘制了不完美SIC因子与基站发射功率的关系.可以看出，随着用户最小速率阈值的增大，不完美SIC因子增加对于发射功率的影响也变大，这是因为速率越高，SIC因子的增加导致不完美SIC下的残余信号干扰越大，基站需要更多的功率来克服残余信号的干扰来满足用户的速率需求.

图4 不完美SIC因子与发射功率的关系

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图5绘制了误差区域半径和基站发射功率的关系.可以看出，误差区域半径的增大会导致发射功率的增加.这是因为误差区域半径增大，意味着估计误差也随之增大，为了满足用户的最小速率需求，基站需要更高的发射功率来克服误差增大带来的影响.

图5 误差区域半径和发射功率的关系

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图6绘制了用户最小速率阈值和发射功率的关系.可以看出，用户最小速率阈值增高会导致基站发射功率增加.随着不完美SIC因子增加，用户最小速率阈值越高，受到的影响也越明显.这是因为用户速率越高时，不完美SIC因子越大，不完美SIC下残余信号干扰也越大，基站需要给近距离用户分配更多的功率来克服不完美SIC带来的干扰影响.

图6 用户最小速率阈值和发射功率的关系

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7 结论

本文针对RIS辅助多用户NOMA网络进行研究，基于不完美CSI和不完美SIC，建立了一个多变量耦合的鲁棒功率最小化问题.仿真结果表明，本文算法具有较好的收敛性，可以有效降低发射功率.不完美CSI和不完美SIC均会导致基站发射功率的增加.信息用户最小速率阈值越大，不完美SIC因子越高，不完美SIC对于网络的影响越大.因此，考虑这两种因素对于网络性能的影响是十分重要的.

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1 引言

2 系统模型和问题描述

图1 RIS辅助的多用NOMA网络

3 非凸约束的转化和问题重新表述

3.1 引入松弛变量转化约束 $C 1 ~ C 3$

3.1.1 第一类约束的处理

3.1.2 第二类约束的处理

3.2 最小能量收集约束 $C 4$ 的转化

3.3 优化问题的重新表述

4 交替优化算法设计

4.1 基站主动波束赋形子问题

4.2 RIS被动波束赋形子问题

5 性能分析

5.1 收敛性分析

5.2 复杂度分析

6 仿真结果及分析

表1 具体仿真参数

图2 发射功率收敛图

图3 RIS反射单元数与发射功率的关系

图4 不完美SIC因子与发射功率的关系

图5 误差区域半径和发射功率的关系

图6 用户最小速率阈值和发射功率的关系

7 结论

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References

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1 引言

2 系统模型和问题描述

图1 RIS辅助的多用NOMA网络

3 非凸约束的转化和问题重新表述

3.1 引入松弛变量转化约束 C1~C3

3.1.1 第一类约束的处理

3.1.2 第二类约束的处理

3.2 最小能量收集约束 C4的转化

3.3 优化问题的重新表述

4 交替优化算法设计

4.1 基站主动波束赋形子问题

4.2 RIS被动波束赋形子问题

5 性能分析

5.1 收敛性分析

5.2 复杂度分析

6 仿真结果及分析

表1 具体仿真参数

图2 发射功率收敛图

图3 RIS反射单元数与发射功率的关系

图4 不完美SIC因子与发射功率的关系

图5 误差区域半径和发射功率的关系

图6 用户最小速率阈值和发射功率的关系

7 结论

{{custom_sec.title}}

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References

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Footnotes

Funding

3.1 引入松弛变量转化约束 $C 1 ~ C 3$

3.2 最小能量收集约束 $C 4$ 的转化