量子启发式优化算法的尺度动态调速机制

doi:10.12263/DZXB.20201305

摘要/Abstract

摘要：

尺度在量子启发谐振子优化算法中起着重要作用，反映了解空间中搜索探针的分辨率.当前研究中以固定速度调整尺度并未合理利用尺度资源.此外，候选解可能会因高斯采样的聚集效应而陷入边界.本文提出了一种在一定程度上反映了适应度利用效率的指标，称为适应度进化利用率.在此基础上，本文提出了一种具有尺度动态调速机制和边界映射反弹策略的量子启发式优化方法.该算法通过与尺度调整因子相关的适应度进化利用率动态调节尺度调整速度，通过2种不同的边界映射反弹策略增加可行解的多样性.将本算法与多种流行优化算法在基准测试函数集上进行对比实验，采用了一种带有动态可接受误差的成功率评估机制保证公平性，实验结果表明该算法具有较强的竞争性.

关键词: 速度调节, 优化算法, 尺度调整, 量子行为

Abstract:

The scale plays an important role in the multiscale quantum-inspired harmonic oscillator algorithm, and it reflects the resolution of searching probes in solution space. The fixed-rate speed of scale adjustment in the current researches leads to unreasonable use of the resources on a specific scale. Besides, candidate solutions may be trapped in the boundary for the aggregation effect of Gaussian sampling. A metric called fitness evolution ratio, which reflects the fitness utilization efficiency to a certain extent, is proposed in this paper. On this basis, a quantum-inspired optimization algorithm is put forward with speed regulation of scale adjustment and boundary mapping rebounding strategy. The algorithm dynamically adjusts the scale adjustment speed through the fitness evolution ratio related to the scale adjustment factor. Besides, it implements two different boundary mapping rebounding strategies to increase the diversity of candidate solutions. Comparison experiments are conducted on the benchmark functions with a variety of compared algorithms. For a fair comparison, an evaluation mechanism of success rate with dynamic acceptable errors is utilized. The results show considerable competitiveness for our scheme.

Key words: speed regulation, optimization algorithm, scale adjustment, quantum behavior

中图分类号:

TP301.6

穆磊, 王鹏. 量子启发式优化算法的尺度动态调速机制[J]. 电子学报, 2022, 50(7): 1664-1673.

MU Lei, WANG Peng. Speed Regulation of Scale Adjustment in Quantum-Inspired Optimization Algorithm[J]. Acta Electronica Sinica, 2022, 50(7): 1664-1673.

图/表 13

图1 MQHOA基本原理框图

图2 MQHOA算法流程图

图3 边界映射策略

表1 基准测试函数

函数名称	函数表达式	维度	搜索空间	全局最优位置
Griewank	$f 1 = 14000 ∑ i = 1 n x i 2 - ∏ i = 1 n c o s x i i + 1$	n	［-100，100］	f（0，…，0）=0
Rastrigin	$f 2 = 10 n + ∑ i = 1 n x i 2 - 10 c o s 2 π x i$	n	［-5.12，5.12］	f （0，…，0）=0
Ackley	$f 3 = - 20 e x p - 0.2 1 n ∑ i = 1 n x i 2 - e x p 1 n ∑ i = 1 n c o s 2 π x i + 20 + e$	n	［-32.77，32.77］	f （0，…，0）=0
Levy	$f 4 = s i n 2 π ω 1 + ∑ i = 1 n - 1 ω i - 1 2 1 + 10 s i n 2 π ω i + 1 +$ $ω n - 1 2 1 + s i n 2 2 π ω n$ ， where $ω i = 1 + x i - 1 4$ ，for all i=1，…，n	n	［-10，10］	f （1，…，1）=0
Alpine	$f 5 = ∑ i = 0 n - 1 x i s i n x i + 0.1 x i$	n	［0，10］	f （0，…，0）=0
Schwefel	$f 6 = 418.9829 n - ∑ i = 1 n x i s i n x i$	n	［-500，500］	f （420.97…）=0
Sphere	$f 7 = ∑ i = 1 n x i 2$	n	［-5.12，5.12］	f （0，…，0）=0
Sum Squares	$f 8 = ∑ i = 0 n - 1 i x 2$	n	［-10，10］	f （0，…，0）=0
Botated Hyper- Ellipsoid	$f 9 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 i x i 2$	n	［-65.54，65.54］	f （0，…，0）=0
Ellipsoidal	$f 10 = ∑ i = 1 n x i - i 2$	n	［-100，100］	f （1，2，…n）=0
Sum of Different Power	$f 11 = ∑ i = 1 n x i i + 1$	n	［-100，100］	f （0，…，0）=0
Zakharov	$f 12 = ∑ i = 1 n x i 2 + ∑ i = 1 n 0.5 i x i 2 + ∑ i = 1 n 0.5 i x i 4$	n	［5，10］	f （0，…，0）=0
Rosenbrock	$f 13 = ∑ i = 1 n - 1 100 x i + 1 - x i 2 2 + 1 - x i 2$	n	［5，10］	f （1，…，1）=0
Dixson-Price	$f 14 = x 1 - 1 2 + ∑ i = 2 n i 2 x i 2 - x i - 1 2$	n	［-10，10］	$f 2 - 2 i - 2 2 i = 0$

表1 基准测试函数

函数名称	函数表达式	维度	搜索空间	全局最优位置
Griewank	$f 1 = 14000 ∑ i = 1 n x i 2 - ∏ i = 1 n c o s x i i + 1$	n	［-100，100］	f（0，…，0）=0
Rastrigin	$f 2 = 10 n + ∑ i = 1 n x i 2 - 10 c o s 2 π x i$	n	［-5.12，5.12］	f （0，…，0）=0
Ackley	$f 3 = - 20 e x p - 0.2 1 n ∑ i = 1 n x i 2 - e x p 1 n ∑ i = 1 n c o s 2 π x i + 20 + e$	n	［-32.77，32.77］	f （0，…，0）=0
Levy	$f 4 = s i n 2 π ω 1 + ∑ i = 1 n - 1 ω i - 1 2 1 + 10 s i n 2 π ω i + 1 +$ $ω n - 1 2 1 + s i n 2 2 π ω n$ ， where $ω i = 1 + x i - 1 4$ ，for all i=1，…，n	n	［-10，10］	f （1，…，1）=0
Alpine	$f 5 = ∑ i = 0 n - 1 x i s i n x i + 0.1 x i$	n	［0，10］	f （0，…，0）=0
Schwefel	$f 6 = 418.9829 n - ∑ i = 1 n x i s i n x i$	n	［-500，500］	f （420.97…）=0
Sphere	$f 7 = ∑ i = 1 n x i 2$	n	［-5.12，5.12］	f （0，…，0）=0
Sum Squares	$f 8 = ∑ i = 0 n - 1 i x 2$	n	［-10，10］	f （0，…，0）=0
Botated Hyper- Ellipsoid	$f 9 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 i x i 2$	n	［-65.54，65.54］	f （0，…，0）=0
Ellipsoidal	$f 10 = ∑ i = 1 n x i - i 2$	n	［-100，100］	f （1，2，…n）=0
Sum of Different Power	$f 11 = ∑ i = 1 n x i i + 1$	n	［-100，100］	f （0，…，0）=0
Zakharov	$f 12 = ∑ i = 1 n x i 2 + ∑ i = 1 n 0.5 i x i 2 + ∑ i = 1 n 0.5 i x i 4$	n	［5，10］	f （0，…，0）=0
Rosenbrock	$f 13 = ∑ i = 1 n - 1 100 x i + 1 - x i 2 2 + 1 - x i 2$	n	［5，10］	f （1，…，1）=0
Dixson-Price	$f 14 = x 1 - 1 2 + ∑ i = 2 n i 2 x i 2 - x i - 1 2$	n	［-10，10］	$f 2 - 2 i - 2 2 i = 0$

图4 尺度调节因子统计结果

表2 基准测试函数上的误差结果

No.	SPSO2011	MQHOA	NSR	PSR	BBFWA	QPSO
1	7.48E-03（7.73E-03）（3）	1.02E-02（3.98E-02）（4）	2.22E-03（4.65E-03）（1）	4.25E-03（6.72E-03）（2）	1.08E-02（9.11E-03）（5）	4.31E-01（2.28E-01）（6）
2	2.35E+01（6.62E+00）（1）	1.32E+02（6.91E+01）（5）	1.16E+02（7.83E+01）（3）	1.21E+02（7.28E+01）（4）	1.14E+02（3.15E+01）（2）	1.63E+02（2.00E+01）（6）
3	8.89E-01（7.77E-01）（5）	1.96E-01（4.70E-01）（4）	5.05E-02（2.63E-01）（2）	1.37E-01（4.77E-01）（3）	1.10E+00（1.05E+00）（6）	4.33E-06（6.08E-06）（1）
4	6.89E-01（6.04E-01）（5）	7.11E-02（2.67E-01）（4）	3.69E-02（6.25E-02）（2）	4.08E-02（1.11E-01）（3）	1.84E+01（1.05E+01）（6）	7.57E-10（1.94E-09）（1）
5	6.78E+00（5.82E+00）（5）	6.68E+00（1.07E+00）（4）	3.37E+00（6.45E+00）（2）	1.31E+01（2.95E+00）（6）	4.52E+00（2.18E+00）（3）	5.89E-16（1.77E-15）（1）
6	4.62E+03（5.34E+02）（1）	7.84E+03（2.96E+02）（5）	7.95E+03（2.55E+02）（6）	7.13E+03（2.60E+02）（4）	5.26E+03（6.36E+02）（2）	6.05E+03（7.66E+02）（3）
7	9.33E-101（5.77E-102）（2）	4.83E-84（7.24E-84）（5）	6.59E-86（8.80E-86）（4）	4.03E-88（7.11E-88）（3）	2.53E-107（1.55E-106）（1）	1.64E-12（3.36E-12）（6）
8	7.68E-30（1.83E-29）（2）	1.37E-05（4.35E-05）（6）	5.88E-06（8.74E-06）（4）	8.03E-06（1.62E-05）（5）	2.47E-55（1.40E-54）（1）	1.41E-11（1.94E-11）（3）
9	9.24E-101（5.34E-102）（2）	3.44E-79（4.62E-79）（5）	6.35E-81（1.69E-80）（4）	2.72E-83（3.04E-83）（3）	1.27E-103（5.92E-103）（1）	1.06E-07（1.92E-07）（6）
10	7.08E-29（1.21E-29）（5）	0.00E+00（0.00E+00）（1）	0.00E+00（0.00E+00）（1）	0.00E+00（0.00E+00）（1）	1.22E-29（1.53E-29）（4）	9.33E-10（3.78E-09）（6）
11	1.73E-09（1.11E-09）（5）	1.68E-09（1.42E-09）（4）	7.20E-10（7.23E-10）（2）	1.66E-09（1.49E-09）（3）	1.84E-09（4.63E-10）（6）	4.83E-23（2.69E-22）（1）
12	1.14E-37（2.78E-37）（2）	4.38E-14（2.38E-14）（4）	3.99E-14（3.18E-14）（3）	6.62E-14（5.18E-14）（5）	9.29E-83（5.03E-82）（1）	6.42E+00（2.47E+00）（6）
13	2.17E+01（2.56E+01）（5）	4.85E-01（3.21E-01）（3）	4.78E-01（2.59E-01）（2）	4.31E-01（3.28E-01）（1）	1.27E+01（1.14E+01）（4）	3.54E+01（2.26E+01）（6）
14	6.67E-01（3.46E-08）（2）	6.79E-01（3.89E-02）（6）	6.69E-01（7.55E-03）（4）	6.71E-01（1.98E-02）（5）	6.67E-01（5.48E-10）（1）	6.67E-01（6.07E-05）（3）

表2 基准测试函数上的误差结果

No.	SPSO2011	MQHOA	NSR	PSR	BBFWA	QPSO
1	7.48E-03（7.73E-03）（3）	1.02E-02（3.98E-02）（4）	2.22E-03（4.65E-03）（1）	4.25E-03（6.72E-03）（2）	1.08E-02（9.11E-03）（5）	4.31E-01（2.28E-01）（6）
2	2.35E+01（6.62E+00）（1）	1.32E+02（6.91E+01）（5）	1.16E+02（7.83E+01）（3）	1.21E+02（7.28E+01）（4）	1.14E+02（3.15E+01）（2）	1.63E+02（2.00E+01）（6）
3	8.89E-01（7.77E-01）（5）	1.96E-01（4.70E-01）（4）	5.05E-02（2.63E-01）（2）	1.37E-01（4.77E-01）（3）	1.10E+00（1.05E+00）（6）	4.33E-06（6.08E-06）（1）
4	6.89E-01（6.04E-01）（5）	7.11E-02（2.67E-01）（4）	3.69E-02（6.25E-02）（2）	4.08E-02（1.11E-01）（3）	1.84E+01（1.05E+01）（6）	7.57E-10（1.94E-09）（1）
5	6.78E+00（5.82E+00）（5）	6.68E+00（1.07E+00）（4）	3.37E+00（6.45E+00）（2）	1.31E+01（2.95E+00）（6）	4.52E+00（2.18E+00）（3）	5.89E-16（1.77E-15）（1）
6	4.62E+03（5.34E+02）（1）	7.84E+03（2.96E+02）（5）	7.95E+03（2.55E+02）（6）	7.13E+03（2.60E+02）（4）	5.26E+03（6.36E+02）（2）	6.05E+03（7.66E+02）（3）
7	9.33E-101（5.77E-102）（2）	4.83E-84（7.24E-84）（5）	6.59E-86（8.80E-86）（4）	4.03E-88（7.11E-88）（3）	2.53E-107（1.55E-106）（1）	1.64E-12（3.36E-12）（6）
8	7.68E-30（1.83E-29）（2）	1.37E-05（4.35E-05）（6）	5.88E-06（8.74E-06）（4）	8.03E-06（1.62E-05）（5）	2.47E-55（1.40E-54）（1）	1.41E-11（1.94E-11）（3）
9	9.24E-101（5.34E-102）（2）	3.44E-79（4.62E-79）（5）	6.35E-81（1.69E-80）（4）	2.72E-83（3.04E-83）（3）	1.27E-103（5.92E-103）（1）	1.06E-07（1.92E-07）（6）
10	7.08E-29（1.21E-29）（5）	0.00E+00（0.00E+00）（1）	0.00E+00（0.00E+00）（1）	0.00E+00（0.00E+00）（1）	1.22E-29（1.53E-29）（4）	9.33E-10（3.78E-09）（6）
11	1.73E-09（1.11E-09）（5）	1.68E-09（1.42E-09）（4）	7.20E-10（7.23E-10）（2）	1.66E-09（1.49E-09）（3）	1.84E-09（4.63E-10）（6）	4.83E-23（2.69E-22）（1）
12	1.14E-37（2.78E-37）（2）	4.38E-14（2.38E-14）（4）	3.99E-14（3.18E-14）（3）	6.62E-14（5.18E-14）（5）	9.29E-83（5.03E-82）（1）	6.42E+00（2.47E+00）（6）
13	2.17E+01（2.56E+01）（5）	4.85E-01（3.21E-01）（3）	4.78E-01（2.59E-01）（2）	4.31E-01（3.28E-01）（1）	1.27E+01（1.14E+01）（4）	3.54E+01（2.26E+01）（6）
14	6.67E-01（3.46E-08）（2）	6.79E-01（3.89E-02）（6）	6.69E-01（7.55E-03）（4）	6.71E-01（1.98E-02）（5）	6.67E-01（5.48E-10）（1）	6.67E-01（6.07E-05）（3）

图5 基准测试函数上的误差均值平均排名

图6 部分基准测试函数误差均值箱形图

表3 基准测试函数成功率

No.	SPSO2011	MQHOA	NSR	PSR	BBFWA	QPSO	e_accept
1	1.00（1）	0.98（5）	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	0.10（6）	7.77E-02
2	1.00（1）	0.22（5）	0.31（3）	0.27（4）	0.47（2）	0.00（6）	1.11E+02
3	0.39（6）	0.84（4）	0.96（2）	0.92（3）	0.43（5）	1.00（1）	3.95E-01
4	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	0.00（6）	1.00（1）	3.21E+00
5	0.53（4）	0.20（5）	0.92（2）	0.00（6）	0.67（3）	1.00（1）	5.75E+00
6	1.00（1）	0.00（5）	0.00（5）	0.02（4）	0.96（2）	0.69（3）	6.47E+03
7	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	0.35（6）	2.73E-13
8	1.00（1）	0.61（5）	0.67（4）	0.61（5）	1.00（1）	1.00（1）	4.61E-06
9	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	0.35（6）	1.76E-08
10	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	0.59（6）	1.55E-10
11	0.37（5）	0.57（3）	0.82（2）	0.53（4）	0.10（6）	1.00（1）	1.27E-09
12	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	0.00（6）	1.07E+00
13	0.41（5）	1.00（1）	1.00（1）	1.00（1）	0.73（4）	0.00（6）	1.19E+01

图7 基准测试函数上成功率平均排名

表4 基准测试函数平均执行时间 (s)

No.	SPSO2011	MQHOA	NSR	PSR	BBFWA	QPSO
1	4.64（4）	17.06（6）	1.59（2）	16.02（5）	0.73（1）	4.51（3）
2	5.87（6）	2.87（4）	1.32（2）	1.34（3）	0.73（1）	4.42（5）
3	5.85（6）	3.03（3）	1.45（2）	4.47（5）	0.76（1）	4.32（4）
4	9.53（4）	15.50（6）	3.79（2）	13.54（5）	3.19（1）	8.50（3）
5	5.57（6）	2.83（4）	1.48（2）	2.44（3）	1.02（1）	4.22（5）
6	5.72（6）	2.85（4）	2.51（2）	2.81（3）	0.86（1）	4.57（5）
7	2.62（3）	30.32（5）	2.31（2）	35.73（6）	0.89（1）	4.09（4）
8	5.10（6）	2.63（4）	1.36（3）	1.35（2）	0.87（1）	4.14（5）
9	3.09（3）	4.09（5）	2.58（2）	3.47（4）	1.30（1）	4.90（6）
10	5.70（6）	1.72（4）	1.07（3）	1.04（2）	0.70（1）	4.22（5）
11	6.50（6）	3.79（4）	2.49（3）	2.47（2）	2.09（1）	5.85（5）
12	5.07（6）	2.88（4）	1.55（2）	1.60（3）	0.88（1）	4.34（5）
13	4.75（3）	7.21（4）	81.79（6）	78.94（5）	0.86（1）	4.23（2）
14	4.70（6）	2.62（4）	1.35（2）	1.44（3）	0.88（1）	4.26（5）

图8 基准测试函数执行时间均值平均排名

表5 不同算法的平均综合排名

	精度排名	成功率排名	执行时间排名	平均综合排名
NSR	1	1	2	1.33
PSR	4	4	3	3.67
SPSO2011	3	1	6	3.33
QPSO	5	6	5	5.33
MQHOA	6	5	4	5.00
BBFWA	2	3	1	2.00

参考文献 18

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