分数阶低通滤波器的优化设计研究

doi:10.12263/DZXB.20210019

摘要/Abstract

摘要：

分数阶滤波器由于具备连续步进的阻带衰减速率和更大的设计自由度而受到国内外学者的广泛关注.本文提出两种符合指标要求的分数阶低通滤波器的优化设计方法，即采用Matlab优化工具箱中的Fminimax和Fgoalattain两种多目标优化函数来分别设计符合指标要求的两种不同形式传递函数的分数阶低通滤波器，通过比较通带偏差、阻带偏差以及群时延等参数，总结这两种方法所优化设计的滤波器各自的特点.给出设计实例，对其进行稳定性分析和电路仿真，并搭建电路证明了所提设计方法的有效性.

长摘要
分数阶微积分也被称作非整数阶微积分，是经典整数阶微积分理论的扩展。将分数阶微积分的概念引入到滤波电路中，即用分数阶电容替代传统整数阶电容设计的分数阶滤波器由于具备连续步进的阻带衰减速率和更大的设计自由度而受到国内外学者的广泛关注。迄今为止，研究人员采用了多种方法设计分数阶滤波器，然而对于满足工程上常用指标的分数阶滤波器的设计方法和流程却未见报道。
本文给出了满足指标要求的分数阶低通滤波器设计的数学模型，并提出两种符合指标要求的分数阶低通滤波器的优化设计方法，即采用Matlab优化工具箱中的Fminimax和Fgoalattain两种多目标优化函数来分别设计符合指标要求的两种不同形式传递函数的分数阶低通滤波器，通过比较通带偏差、阻带偏差以及群时延等参数，总结这两种方法所优化设计的滤波器各自的特点和适用场合。并结合实例说明了分数阶低通滤波器相对于整数阶低通滤波器在实际电路实现时所具有的优势。
最后本文给出设计实例，对其进行稳定性分析和PSPICE电路仿真，并搭建实际电路证明了所提设计方法的有效性。

关键词: 分数阶微积分, 分数阶滤波器, 优化设计

Abstract:

Fractional order filters have received extensive attention from scholars at home and abroad because of their continuous stepped stopband attenuation rate and greater design freedom. This paper proposes two optimization design methods for fractional order lowpass filters that meet the design specifications, that is, using two multi-objective optimization functions of Fminimax and Fgoalattain in the Matlab optimization toolbox to design fractional order lowpass filters with two different forms of transfer functions that meet the design specifications. By comparing parameters such as passband deviation, stopband deviation, and group delay, the characteristics of the filters optimized by the two methods are summarized. A design example is given, stability analysis and circuit simulation are carried out, and the circuit is built to prove the effectiveness of the proposed design methods.

Extended Abstract
Fractional calculus, also known as non-integer calculus, is an extension of the classic integer calculus theory. The concept of fractional calculus is introduced into the filter circuit, that is, fractional-order filters designed by replacing traditional integer-order capacitors with fractional-order capacitors have received extensive attention from scholars at home and abroad because of their greater design freedom and continuously stepped stopband attenuation rate. So far, researchers have adopted a variety of methods to design fractional-order filters. However, there have been no reports on the design methods and procedures of fractional-order lowpass filters that meet design specifications commonly used in engineering.
In this paper, the mathematical model of fractional-order lowpass filters that meet the specifications is given, and two optimization design methods for fractional-order lowpass filters that meet the design specifications are proposed, that is, using two multi-objective optimization functions of Fminimax and Fgoalattain in the Matlab optimization toolbox to design fractional-order lowpass filters with two different forms of transfer functions that meet the design specifications. By comparing parameters such as passband deviation, stopband deviation, and group delay, the characteristics and applicable occasions of the filters optimized by the two methods are summarized. Combined with an example, the advantages of fractional-order lowpass filters compared to integer-order lowpass filters in actual circuit implementation are illustrated.
Finally, a design example is given, stability analysis and PSPICE simulation are carried out, and the actual circuit is built to prove the effectiveness of the proposed design methods.

Key words: fractional calculus, fractional filter, optimal design

中图分类号:

TN713

何雪, 胡志忠. 分数阶低通滤波器的优化设计研究[J]. 电子学报, 2022, 50(1): 185-194.

Xue HE, Zhi-zhong HU . Research on Optimal Design of Fractional Order Lowpass Filters[J]. Acta Electronica Sinica, 2022, 50(1): 185-194.

图/表 19

图1 低通滤波器的设计式样（线性表示）

表 1 第一组给定指标要求下的参数值

传递函数	参数	Fminimax	Fgoalattain
$c s 1 + α + a s α + b$	$a$	0.01	0.8558
	$b$	1.3856	1.3351
	$c$	1.3856	1.3351
	$α$	0.1709	0.7628
	通带偏差	0.2308	0.2099
	阻带偏差	0.2598	0.114
	群时延最大波动	0.4467 s	1.5566 s
$k 3 s 2 β + k 1 s β + k 2$	$k 1$	0.1713	1.0808
	$k 2$	1.5663	1.8329
	$k 3$	1.5589	1.7788
	$β$	0.6115	0.877
	通带偏差	0.2099	0.1727
	阻带偏差	0.27	0.1452
	群时延最大波动	0.408 s	0.4613 s

表 1 第一组给定指标要求下的参数值

传递函数	参数	Fminimax	Fgoalattain
$c s 1 + α + a s α + b$	$a$	0.01	0.8558
	$b$	1.3856	1.3351
	$c$	1.3856	1.3351
	$α$	0.1709	0.7628
	通带偏差	0.2308	0.2099
	阻带偏差	0.2598	0.114
	群时延最大波动	0.4467 s	1.5566 s
$k 3 s 2 β + k 1 s β + k 2$	$k 1$	0.1713	1.0808
	$k 2$	1.5663	1.8329
	$k 3$	1.5589	1.7788
	$β$	0.6115	0.877
	通带偏差	0.2099	0.1727
	阻带偏差	0.27	0.1452
	群时延最大波动	0.408 s	0.4613 s

图2 第一组给定指标下的分数阶传递函数Matlab幅频响应仿真

图3 第一组给定指标下的分数阶传递函数的群时延

表2 第二组给定指标要求下的指标参数值

传递函数	指标参数	Fminimax	Fgoalattain
$c s 1 + α + a s α + b$	通带偏差	0.1571	0.1654
	阻带偏差	0.2802	0.2253
	群时延最大波动	0.1915 s	1.1715 s
$k 3 s 2 β + k 1 s β + k 2$	通带偏差	0.1699	0.1699
	阻带偏差	0.29	0.1982
	群时延最大波动	0.5404 s	0.7531 s

表2 第二组给定指标要求下的指标参数值

传递函数	指标参数	Fminimax	Fgoalattain
$c s 1 + α + a s α + b$	通带偏差	0.1571	0.1654
	阻带偏差	0.2802	0.2253
	群时延最大波动	0.1915 s	1.1715 s
$k 3 s 2 β + k 1 s β + k 2$	通带偏差	0.1699	0.1699
	阻带偏差	0.29	0.1982
	群时延最大波动	0.5404 s	0.7531 s

表3 第三组给定指标要求下的指标参数值

传递函数	指标参数	Fminimax	Fgoalattain
$c s 1 + α + a s α + b$	通带偏差	0.19	0.1896
	阻带偏差	0.28	0.0759
	群时延最大波动	0.2735 s	1.2288 s
$k 3 s 2 β + k 1 s β + k 2$	通带偏差	0.201	0.1642
	阻带偏差	0.276	0.06421
	群时延最大波动	0.3245 s	0.9304 s

表3 第三组给定指标要求下的指标参数值

传递函数	指标参数	Fminimax	Fgoalattain
$c s 1 + α + a s α + b$	通带偏差	0.19	0.1896
	阻带偏差	0.28	0.0759
	群时延最大波动	0.2735 s	1.2288 s
$k 3 s 2 β + k 1 s β + k 2$	通带偏差	0.201	0.1642
	阻带偏差	0.276	0.06421
	群时延最大波动	0.3245 s	0.9304 s

表4 分数阶滤波器和整数阶滤波器的参数

指标要求	参数	分数阶低通滤波器	整数阶低通滤波器
$δ p : 0.27 δ s : 0.35 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	阶数	1.4608	2
	$k 1$	0.02	-
	$k 2, k 3$	0.01	-
	截止频率 $ω c$	-	0.056
$δ p : 0.28 δ s : 0.33 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	阶数	1.4624	2
	$k 1$	0.02	-
	$k 2, k 3$	0.01	-
	截止频率 $ω c$	-	0.055
$δ p : 0.29 δ s : 0.36 ω p : 0.06 ω s : 0.114$	阶数	1.599	2
	$k 1$	0.05	-
	$k 2, k 3$	0.01	-
	截止频率 $ω c$	-	0.06

表4 分数阶滤波器和整数阶滤波器的参数

指标要求	参数	分数阶低通滤波器	整数阶低通滤波器
$δ p : 0.27 δ s : 0.35 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	阶数	1.4608	2
	$k 1$	0.02	-
	$k 2, k 3$	0.01	-
	截止频率 $ω c$	-	0.056
$δ p : 0.28 δ s : 0.33 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	阶数	1.4624	2
	$k 1$	0.02	-
	$k 2, k 3$	0.01	-
	截止频率 $ω c$	-	0.055
$δ p : 0.29 δ s : 0.36 ω p : 0.06 ω s : 0.114$	阶数	1.599	2
	$k 1$	0.05	-
	$k 2, k 3$	0.01	-
	截止频率 $ω c$	-	0.06

表5 分数阶滤波器和整数阶滤波器的指标参数对比

指标要求	指标参数	分数阶低通滤波器	整数阶低通滤波器
$δ p : 0.27 δ s : 0.35 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	通带偏差	0.1312	0.2181
$δ p : 0.27 δ s : 0.35 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	阻带偏差	0.3499	0.2992
$δ p : 0.28 δ s : 0.33 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	通带偏差	0.1543	0.2291
$δ p : 0.28 δ s : 0.33 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	阻带偏差	0.33	0.2893
$δ p : 0.29 δ s : 0.36 ω p : 0.06 ω s : 0.114$	通带偏差	0.1973	0.2929
$δ p : 0.29 δ s : 0.36 ω p : 0.06 ω s : 0.114$	阻带偏差	0.3352	0.2668

表5 分数阶滤波器和整数阶滤波器的指标参数对比

指标要求	指标参数	分数阶低通滤波器	整数阶低通滤波器
$δ p : 0.27 δ s : 0.35 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	通带偏差	0.1312	0.2181
$δ p : 0.27 δ s : 0.35 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	阻带偏差	0.3499	0.2992
$δ p : 0.28 δ s : 0.33 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	通带偏差	0.1543	0.2291
$δ p : 0.28 δ s : 0.33 ω p : 0.05 ω s : 0.1$	阻带偏差	0.33	0.2893
$δ p : 0.29 δ s : 0.36 ω p : 0.06 ω s : 0.114$	通带偏差	0.1973	0.2929
$δ p : 0.29 δ s : 0.36 ω p : 0.06 ω s : 0.114$	阻带偏差	0.3352	0.2668

图4 KHN滤波器

表6 电路元件取值

电路元件	分数阶低通滤波器	整数阶低通滤波器
$R 1$ （kΩ）	20	12
$R 2$ （kΩ）	5	24
$R 3, R 4, R 5, R 6$ （kΩ）	1
$C 1, C 2$ （mF）	1

表6 电路元件取值

电路元件	分数阶低通滤波器	整数阶低通滤波器
$R 1$ （kΩ）	20	12
$R 2$ （kΩ）	5	24
$R 3, R 4, R 5, R 6$ （kΩ）	1
$C 1, C 2$ （mF）	1

表7 放缩后电路元件取值

电路元件	分数阶低通滤波器	整数阶低通滤波器
$R 1$ （kΩ）	796	1200
$R 2$ （kΩ）	199	2400
$R 3, R 4, R 5, R 6$ （kΩ）	1
$C 1, C 2$ （mF）	1

表7 放缩后电路元件取值

电路元件	分数阶低通滤波器	整数阶低通滤波器
$R 1$ （kΩ）	796	1200
$R 2$ （kΩ）	199	2400
$R 3, R 4, R 5, R 6$ （kΩ）	1
$C 1, C 2$ （mF）	1

表8 不同方法所设计的三组不同分数阶滤波器的指标参数对比

组别	指标参数	本文设计方法（Fgoalattain）	文献［20］设计方法
第一组	通带偏差	0.1727	0.1644
	阻带偏差	0.1452	0.3288
	群时延最大波动	0.4613 s	0.3424 s
第二组	通带偏差	0.1699	0.2205
	阻带偏差	0.1982	0.3088
	群时延最大波动	0.7531 s	0.6798 s
第三组	通带偏差	0.1642	0.2081
	阻带偏差	0.06421	0.3377
	群时延最大波动	0.9304 s	0.2213 s

表9 给定指标要求下的1+ α 阶低通滤波器传递函数优化参数值

传递函数	优化参数	Fgoalattain
$c s 1 + α + a s α + b$	$a$	2.2376
	$b$	4
	$c$	3.9999
	$α$	0.9303

表9 给定指标要求下的1+ α 阶低通滤波器传递函数优化参数值

传递函数	优化参数	Fgoalattain
$c s 1 + α + a s α + b$	$a$	2.2376
	$b$	4
	$c$	3.9999
	$α$	0.9303

图5 1+α 阶传递函数Matlab幅频响应仿真

表10 1.94阶滤波电路元件取值

电路元件	取值
$R 1$ （kΩ）	1.4
$R 2$ （kΩ）	2.5
$R 3, R 4, R 5, R 6$ （kΩ）	1
$C 1, C 2$ （µF）	1

表10 1.94阶滤波电路元件取值

电路元件	取值
$R 1$ （kΩ）	1.4
$R 2$ （kΩ）	2.5
$R 3, R 4, R 5, R 6$ （kΩ）	1
$C 1, C 2$ （µF）	1

图6 0.94阶1μF电容元件模拟电路

图7 给定指标要求下优化的滤波器幅频响应曲线

图8 搭建的1.94阶KHN滤波电路

图9 1.94阶低通滤波器幅频响应曲线

参考文献 22

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