两类厄米特对偶包含的BCH码及其应用

doi:10.12263/DZXB.20210951

摘要/Abstract

摘要：

Bose-Chaudhuri-Hocquenghem(BCH)码是一类重要的经典纠错码，可以纠正多个错误且具有高效的编码和译码方法，满足一定结构关系的BCH码可以构造量子纠错码.本文研究了有限域上两类BCH码，基于分圆陪集的结构性质，给出了这两类BCH码满足厄米特对偶包含的条件，通过确定每个分圆陪集所含元素个数，计算出了这两类厄米特对偶包含的BCH码的维数，并利用厄米特构造法，由这两类厄米特对偶包含的BCH码得到了一些参数较好的量子纠错码.

关键词: 有限域, 循环码, BCH码, 量子纠错码, 厄米特对偶包含码, 分圆陪集

Abstract:

Bose-Chaudhuri-Hocquenghem(BCH) codes are an important class of classical error-correcting codes, which can correct multiple errors and have efficient coding and decoding methods. BCH codes with certain conditions can be used to construct quantum error-correcting codes. In this paper, we study two classes of BCH codes over finite fields. Based on the structural properties of cyclotomic cosets, we give the conditions for these two classes of BCH codes to be Hermitian dual-containing codes. Then we determine the number of elements contained in each cyclotomic coset, and calculate the dimensions of these two classes of Hermitian dual-containing BCH codes. Furthermore, some quantum error-correcting codes with good parameters are obtained from two classes of Hermitian dual-containing BCH codes by Hermitian construction.

Key words: finite fields, cyclic codes, BCH codes, quantum error-correcting codes, Hermitian dual-containing codes, cyclotomic cosets

中图分类号:

O157.4

李锦, 高楠, 黄山. 两类厄米特对偶包含的BCH码及其应用[J]. 电子学报, 2022, 50(11): 2773-2777.

LI Jin, GAO Nan, HUANG Shan. Two Classes of Hermitian Dual-Containing BCH Codes and Their Applications[J]. Acta Electronica Sinica, 2022, 50(11): 2773-2777.

图/表 2

表1 本文与文献[4]构造的量子纠错码比较

$n$	$q$	$λ$	本文的量子纠错码	文献［4］的量子纠错码
$λ (q + 1) (q 2 + 1)$	3	4	$[[160,150, ≥ 3]] 3$	$[[160,144, ≥ 3]] 3$
			$[[160,146, ≥ 4]] 3$	$[[160,136, ≥ 4]] 3$
			$[[160,138, ≥ 5]] 3$ $[[160,134, ≥ 6]] 3$	$[[160,128, ≥ 5]] 3$ $[[160,120, ≥ 6]] 3$
		41	$[[1640,1630, ≥ 3]] 3$ $[[1640,1622, ≥ 4]] 3$ $[[1640,1614, ≥ 5]] 3$ $[[1640,1606, ≥ 6]] 3$	$[[1640,1624, ≥ 3]] 3$ $[[1640,1616, ≥ 4]] 3$ $[[1640,1608, ≥ 5]] 3$ $[[1640,1600, ≥ 6]] 3$
$λ (q - 1) (q 2 + 1)$	5	4	$[[416,406, ≥ 3]] 5$ $[[416,402, ≥ 4]] 5$ $[[416,394, ≥ 5]] 5$ $[[416,390, ≥ 6]] 5$	$[[416,400, ≥ 3]] 5$ $[[416,392, ≥ 4]] 5$ $[[416,384, ≥ 5]] 5$ $[[416,376, ≥ 6]] 5$
	9	17	$[[11152,11126, ≥ 5]] 9$	$[[11152,11120, ≥ 5]] 9$
			$[[11152,11118, ≥ 6]] 5$	$[[11152,11112, ≥ 6]] 9$
			$[[11152,11110, ≥ 7]] 9$	$[[11152,11104, ≥ 7]] 9$
			$[[11152,11102, ≥ 8]] 9$	$[[11152,11096, ≥ 8]] 5$
			$[[11152,11094, ≥ 9]] 9$	$[[11152,11088, ≥ 9]] 9$
			$[[11152,11086, ≥ 10]] 9$	$[[11152,11080, ≥ 10]] 9$

表1 本文与文献[4]构造的量子纠错码比较

$n$	$q$	$λ$	本文的量子纠错码	文献［4］的量子纠错码
$λ (q + 1) (q 2 + 1)$	3	4	$[[160,150, ≥ 3]] 3$	$[[160,144, ≥ 3]] 3$
			$[[160,146, ≥ 4]] 3$	$[[160,136, ≥ 4]] 3$
			$[[160,138, ≥ 5]] 3$ $[[160,134, ≥ 6]] 3$	$[[160,128, ≥ 5]] 3$ $[[160,120, ≥ 6]] 3$
		41	$[[1640,1630, ≥ 3]] 3$ $[[1640,1622, ≥ 4]] 3$ $[[1640,1614, ≥ 5]] 3$ $[[1640,1606, ≥ 6]] 3$	$[[1640,1624, ≥ 3]] 3$ $[[1640,1616, ≥ 4]] 3$ $[[1640,1608, ≥ 5]] 3$ $[[1640,1600, ≥ 6]] 3$
$λ (q - 1) (q 2 + 1)$	5	4	$[[416,406, ≥ 3]] 5$ $[[416,402, ≥ 4]] 5$ $[[416,394, ≥ 5]] 5$ $[[416,390, ≥ 6]] 5$	$[[416,400, ≥ 3]] 5$ $[[416,392, ≥ 4]] 5$ $[[416,384, ≥ 5]] 5$ $[[416,376, ≥ 6]] 5$
	9	17	$[[11152,11126, ≥ 5]] 9$	$[[11152,11120, ≥ 5]] 9$
			$[[11152,11118, ≥ 6]] 5$	$[[11152,11112, ≥ 6]] 9$
			$[[11152,11110, ≥ 7]] 9$	$[[11152,11104, ≥ 7]] 9$
			$[[11152,11102, ≥ 8]] 9$	$[[11152,11096, ≥ 8]] 5$
			$[[11152,11094, ≥ 9]] 9$	$[[11152,11088, ≥ 9]] 9$
			$[[11152,11086, ≥ 10]] 9$	$[[11152,11080, ≥ 10]] 9$

表2 本文与文献[7]构造的量子纠错码比较

$n$	$q$	$λ$	本文的量子纠错码	文献［7］的量子纠错码
$λ (q + 1) (q 2 + 1)$	5	2	$[[312,290, ≥ 7]] 5$	$[[312,288, ≥ 7]] 5$
			$[[312,286, ≥ 8]] 5$	$[[312,284, ≥ 8]] 5$
			…	…
			$[[312,274, ≥ 11]] 5$	$[[312,272, ≥ 11]] 5$
			$[[312,270, ≥ 12]] 5$	$[[312,268, ≥ 12]] 5$
$λ (q - 1) (q 2 + 1)$	7	4	$[[1200,1170, ≥ 9]] 7$	$[[1200,1170, ≥ 9]] 7$
			$[[1200,1166, ≥ 10]] 7$	$[[1200,1164, ≥ 10]] 7$
			…	…
			$[[1200,1114, ≥ 23]] 7$	$[[1200,1112, ≥ 23]] 7$
			$[[1200,1110, ≥ 24]] 7$	$[[1200,1108, ≥ 24]] 7$

表2 本文与文献[7]构造的量子纠错码比较

$n$	$q$	$λ$	本文的量子纠错码	文献［7］的量子纠错码
$λ (q + 1) (q 2 + 1)$	5	2	$[[312,290, ≥ 7]] 5$	$[[312,288, ≥ 7]] 5$
			$[[312,286, ≥ 8]] 5$	$[[312,284, ≥ 8]] 5$
			…	…
			$[[312,274, ≥ 11]] 5$	$[[312,272, ≥ 11]] 5$
			$[[312,270, ≥ 12]] 5$	$[[312,268, ≥ 12]] 5$
$λ (q - 1) (q 2 + 1)$	7	4	$[[1200,1170, ≥ 9]] 7$	$[[1200,1170, ≥ 9]] 7$
			$[[1200,1166, ≥ 10]] 7$	$[[1200,1164, ≥ 10]] 7$
			…	…
			$[[1200,1114, ≥ 23]] 7$	$[[1200,1112, ≥ 23]] 7$
			$[[1200,1110, ≥ 24]] 7$	$[[1200,1108, ≥ 24]] 7$

参考文献 17

1	CALDERBANK A R, RAINS E M, SHOR P W, et al. Quantum error correction via codes over GF(4)[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1998, 44(4): 1369‑1387.
2	ASHIKHMIN A, KNILL E. Nonbinary quantum stabilizer codes[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2001, 47(7): 3065‑3072.
3	ALY S A, KLAPPENECKER A, SARVEPALLI P K. Primitive quantum BCH codes over finite fields[C]//2006 IEEE International Symposium on Information Theory. Seattle: IEEE, 2006: 1114‑1118.
4	ALY S A, KLAPPENECKER A, SARVEPALLI P K. On quantum and classical BCH codes[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2007, 53(3): 1183‑1188.
5	GUARDIA G G L. Constructions of new families of nonbinary quantum codes[J]. Physical Review A, 2009, 80(4): 042331.
6	ZHANG M, LI Z, XING L J, et al. Construction of some new quantum BCH codes[J]. IEEE Access, 2018, 6: 36122‑36131.
7	KAI X S, LI P, ZHU S X. Construction of quantum negacyclic BCH codes[J]. International Journal of Quantum Information, 2018, 16(7): 1850059.
8	WANG J L, LI R H, Ma Y N, et al. New quantum BCH codes of length n = 2 ( q 4 - 1 ) [J]. Procedia Computer Science, 2019, 154: 677‑685.
9	LI F W, SUN X M. The Hermitian dual containing non-primitive BCH codes[J]. IEEE Communications Letters, 2020, 25(2): 379‑382.
10	ZHANG H, ZHU S X. New quantum BCH codes of length n = r ( q 2 - 1 ) [J]. International Journal of Theoretical Physics, 2021, 60(1): 172‑184.
11	SUN Z H, ZHU S X, WANG L Q. A class of constacyclic BCH codes[J]. Cryptography and Communications, 2019, 12(2): 265‑284.
12	TANG N Q, LI Z, XING L J, et al. Some improved constructions for nonbinary quantum BCH codes[J]. IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, 2019, E102A(1): 303‑306.
13	GUO G M, LI R H, LIU Y, et al. A family of negacyclic BCH codes of length n = ( q 2 m - 1 ) / 2 [J]. Cryptography and Communications, 2020, 12(2): 187‑203.
14	ZHAO X B, LI X P, WANG Q, et al. Hermitian dual-containing constacyclic BCH codes and related quantum codes of length n = ( q 2 m - 1 ) / ( q + 1 ) [EB/OL]. [2020-07-27]. .
15	WANG J, LI R H, LIU Y, et al. Some negacyclic BCH codes and quantum codes[J]. Quantum Information Processing, 2020, 19(2): 74.
16	SONG H, LI R H, WANG J L, et al. Two families of BCH codes and new quantum codes[J]. Quantum Information Processing, 2018, 17(10): 270.
17	MACWILLIAMS F J, SLOANE N J A. The Theory of Error -Correcting Codes[M]. The Netherlands: North-Holland Publishing Company, 1977.

[1]	黄素娟, 孙中华, 朱士信. 几类最优重根循环码的构造[J]. 电子学报, 2022, 50(1): 142-148.
[2]	开晓山, 廖文敬. $ℤ 4$ 上LCD循环码及其二元像[J]. 电子学报, 2021, 49(11): 2284-2288.
[3]	吴昭军, 张立民, 钟兆根, 金堃. 低信噪比下循环码识别[J]. 电子学报, 2020, 48(3): 478-485.
[4]	高健, 王永康. 有限非链环上的自对偶常循环码及其应用[J]. 电子学报, 2020, 48(2): 296-302.
[5]	管玥, 施敏加, 张欣, 伍文婷. 有限域上两类新的2-重量码的构造[J]. 电子学报, 2019, 47(3): 714-718.
[6]	邵利平, 乐志芳. 多版本备份和限制性双重认证主密钥(t,s,k,n)图像分存[J]. 电子学报, 2019, 47(2): 390-403.
[7]	马月娜, 冯晓毅, 刘杨, 郭冠敏. 一类特殊码长的非对称量子BCH码[J]. 电子学报, 2019, 47(11): 2311-2316.
[8]	高健, 吕京杰. Z₄×(F₂+uF₂)上的一类循环码[J]. 电子学报, 2018, 46(7): 1768-1773.
[9]	刘杰, 张立民, 钟兆根. 基于二元域等效的RS码编码参数盲识别[J]. 电子学报, 2018, 46(12): 2888-2895.
[10]	管乾清, 开晓山, 朱士信. F_4^m上厄米特自正交常循环码[J]. 电子学报, 2017, 45(6): 1469-1474.
[11]	朱士信, 孙中华, 开晓山. 环Z_2^m上一类常循环码的挠码及其应用[J]. 电子学报, 2016, 44(8): 1826-1830.
[12]	丁健, 李红菊. 有限域上最优码的一种新的构造方法[J]. 电子学报, 2015, 43(8): 1662-1667.
[13]	樊继豪, 陈汉武. 一类新的能够渐进达到Gilbert-Varshamov界的Alternant子类码[J]. 电子学报, 2015, 43(11): 2243-2246.
[14]	丁健, 李红菊, 左学武, 梁静. 环F₂+uF₂+u²F₂上的常循环码[J]. 电子学报, 2015, 43(1): 145-150.
[15]	马鸿洋, 郭忠文, 范兴奎, 王淑梅. 基于量子纠错码的小型量子网络路由通信协议[J]. 电子学报, 2015, 43(1): 171-175.