几类最优重根循环码的构造

doi:10.12263/DZXB.20200739

电子学报 ›› 2022, Vol. 50 ›› Issue (1): 142-148.DOI: 10.12263/DZXB.20200739

几类最优重根循环码的构造

黄素娟¹^,², 孙中华¹^,², 朱士信¹^,²

^1.合肥工业大学数学学院, 安徽合肥 230601
^2.智能互联系统安徽省实验室, 安徽合肥 230009

收稿日期:2020-07-16 修回日期:2021-01-05 出版日期:2022-01-25
- 通讯作者:
- 孙中华
- 作者简介:
- 黄素娟女，1989年生，安徽无为人.合肥工业大学计算机与信息学院博士研究生.研究方向为代数编码.E-mail:huangsujuan1019@163.com
  孙中华（通信作者）男，1989年生，安徽肥西人.合肥工业大学数学学院讲师，硕士生导师. 研究方向为代数编码.
  朱士信男，1962年生，安徽枞阳人.合肥工业大学数学学院教授，博士生导师. 研究方向为代数编码、序列密码与信息安全研究.
- 基金资助:
- 国家自然科学基金 (62002093); 中央高校基本科研业务费专项资金资助 (JZ2020HGQA0154)

On the Construction of Several Classes of Optimal Repeated-Root Cyclic Codes

HUANG Su-juan¹^,², SUN Zhong-hua¹^,², ZHU Shi-xin¹^,²

^1.School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei, Anhui 230601, China
^2.Intelligent Interconnected Systems Laboratory of Anhui Province （Hefei University of Technology）, Hefei, Anhui 230009, China

Received:2020-07-16 Revised:2021-01-05 Online:2022-01-25 Published:2022-01-25
- Corresponding author:
- SUN Zhong-hua
- Supported by:
- National Natural Science Foundation of China (62002093); Fundamental Research Funds for the Central Universities (JZ2020HGQA0154)

摘要/Abstract

摘要：

本文分析了重根循环码的纠错能力.利用循环码的代数结构，构造了几类最优的循环码.构造了一类距离最优的二元重根循环码，并由此派生出一类距离和维数都是最优的二元重根循环码；构造了一类距离和维数都是最优的非二元重根循环码；构造了两类距离最优的非二元循环码.

关键词: 重根循环码, 最优码, Hamming距离

Abstract:

This paper analyzes the error-correction ability of repeated-root cyclic codes. By using the algebraic structure of cyclic codes, several classes of optimal cyclic codes are constructed. A class of binary repeated-root cyclic codes with optimal distances is constructed, and then a class of binary repeated-root cyclic codes with optimal distances and dimensions is derived; A class of non-binary repeated-root cyclic codes with optimal distances and dimensions is constructed; Two classes of non-binary cyclic codes with optimal distances are constructed.

Key words: repeated-root cyclic codes, optimal codes, Hamming distances

中图分类号:

TN911.22

黄素娟, 孙中华, 朱士信. 几类最优重根循环码的构造[J]. 电子学报, 2022, 50(1): 142-148.

HUANG Su-juan, SUN Zhong-hua, ZHU Shi-xin. On the Construction of Several Classes of Optimal Repeated-Root Cyclic Codes[J]. Acta Electronica Sinica, 2022, 50(1): 142-148.

图/表 4

表1 最小距离是4的最优二元重根循环码

生成多项式	参数	生成多项式	参数
$x 4 + x 3 + x + 1$	$[6,2]$ *	$x 6 + x 5 + x + 1$	$[10,4]$ #
$x 5 + x 3 + x 2 + 1$	$[12,7]$ *	$x 5 + x 2 + x + 1$	$[14,9]$ *
$x 8 + x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + 1$	$[18,10]$ #	$x 7 + x 5 + x 2 + 1$	$[20,13]$
$x 7 + x 4 + x 3 + 1$	$[24,17]$	$x 6 + x 5 + x 3 + 1$	$[28,22]$ *
$x 6 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[30,24]$ *	$x 10 + x 9 + x 7 + x 3 + x + 1$	$[34,24]$ #
$x 9 + x 8 + x 7 + x 5 + x 4 + x 2 + x + 1$	$[36,27]$	$x 9 + x 5 + x 4 + 1$	$[40,31]$
$x 8 + x 7 + x 5 + 1$	$[42,34]$	$x 8 + x 7 + x 6 + x 3 + x 2 + 1$	$[56,48]$
$x 7 + x 6 + x 5 + 1$	$[60,53]$ *	$x 7 + x 5 + x 4 + 1$	$[62,55]$ *
$x 11 + x 9 + x 8 + x 7 + x 4 + x 3 + x 2 + 1$	$[68,57]$	$x 11 + x 10 + x 8 + x 6 + x 5 + x 3 + x + 1$	$[72,61]$
$x 9 + x 7 + x 6 + x 5 + x + 1$	$[84,75]$	$x 10 + x 9 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[102,92]$
$x 12 + x 11 + x 10 + x 8 + x 4 + x 3 + x 2 + 1$	$[112,100]$	$x 9 + x 8 + x 6 + x 5 + x 2 + 1$	$[120,111]$
$x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x + 1$	$[124,116]$ *	$x 8 + x 5 + x 4 + x 2 + x + 1$	$[126,118]$ *
$x 13 + x 12 + x 11 + x 9 + x 4 + x 2 + x + 1$	$[132,119]$	$x 13 + x 10 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 3 + 1$	$[136,123]$
$x 11 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 1$	$[146,135]$	$x 11 + x 8 + x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[168,157]$
$x 10 + x 7 + x 5 + x 3 + x + 1$	$[170,160]$	$x 13 + x 11 + x 10 + x 9 + x 6 + x 4 + x + 1$	$[178,165]$
$x 14 + x 11 + x 10 + x 9 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[182,168]$	$x 12 + x 11 + x 10 + x 5 + x 4 + x 3 + x + 1$	$[186,174]$
$x 11 + x 9 + x 6 + 1$	$[204,193$	$x 14 + x 11 + x 10 + x 8 + x 7 + x 4 + x 2 + 1$	$[210,196]$
$x 14 + x 11 + x 9 + x 8 + x 5 + x 2 + x + 1$	$[234,220]$	$x 13 + x 12 + x 10 + x 8 + x 5 + x 4 + x 2 + 1$	$[240,193]$
$x 10 + x 9 + x 7 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[248,238]$	$x 9 + x 8 + x 6 + x 4 + x 3 + 1$	$[252,243]$ *
$x 9 + x 7 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[254,245]$ *

表1 最小距离是4的最优二元重根循环码

生成多项式	参数	生成多项式	参数
$x 4 + x 3 + x + 1$	$[6,2]$ *	$x 6 + x 5 + x + 1$	$[10,4]$ #
$x 5 + x 3 + x 2 + 1$	$[12,7]$ *	$x 5 + x 2 + x + 1$	$[14,9]$ *
$x 8 + x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + 1$	$[18,10]$ #	$x 7 + x 5 + x 2 + 1$	$[20,13]$
$x 7 + x 4 + x 3 + 1$	$[24,17]$	$x 6 + x 5 + x 3 + 1$	$[28,22]$ *
$x 6 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[30,24]$ *	$x 10 + x 9 + x 7 + x 3 + x + 1$	$[34,24]$ #
$x 9 + x 8 + x 7 + x 5 + x 4 + x 2 + x + 1$	$[36,27]$	$x 9 + x 5 + x 4 + 1$	$[40,31]$
$x 8 + x 7 + x 5 + 1$	$[42,34]$	$x 8 + x 7 + x 6 + x 3 + x 2 + 1$	$[56,48]$
$x 7 + x 6 + x 5 + 1$	$[60,53]$ *	$x 7 + x 5 + x 4 + 1$	$[62,55]$ *
$x 11 + x 9 + x 8 + x 7 + x 4 + x 3 + x 2 + 1$	$[68,57]$	$x 11 + x 10 + x 8 + x 6 + x 5 + x 3 + x + 1$	$[72,61]$
$x 9 + x 7 + x 6 + x 5 + x + 1$	$[84,75]$	$x 10 + x 9 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[102,92]$
$x 12 + x 11 + x 10 + x 8 + x 4 + x 3 + x 2 + 1$	$[112,100]$	$x 9 + x 8 + x 6 + x 5 + x 2 + 1$	$[120,111]$
$x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x + 1$	$[124,116]$ *	$x 8 + x 5 + x 4 + x 2 + x + 1$	$[126,118]$ *
$x 13 + x 12 + x 11 + x 9 + x 4 + x 2 + x + 1$	$[132,119]$	$x 13 + x 10 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 3 + 1$	$[136,123]$
$x 11 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 1$	$[146,135]$	$x 11 + x 8 + x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[168,157]$
$x 10 + x 7 + x 5 + x 3 + x + 1$	$[170,160]$	$x 13 + x 11 + x 10 + x 9 + x 6 + x 4 + x + 1$	$[178,165]$
$x 14 + x 11 + x 10 + x 9 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[182,168]$	$x 12 + x 11 + x 10 + x 5 + x 4 + x 3 + x + 1$	$[186,174]$
$x 11 + x 9 + x 6 + 1$	$[204,193$	$x 14 + x 11 + x 10 + x 8 + x 7 + x 4 + x 2 + 1$	$[210,196]$
$x 14 + x 11 + x 9 + x 8 + x 5 + x 2 + x + 1$	$[234,220]$	$x 13 + x 12 + x 10 + x 8 + x 5 + x 4 + x 2 + 1$	$[240,193]$
$x 10 + x 9 + x 7 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[248,238]$	$x 9 + x 8 + x 6 + x 4 + x 3 + 1$	$[252,243]$ *
$x 9 + x 7 + x 3 + x 2 + x + 1$	$[254,245]$ *

表2 最小距离是3的最优三元重根循环码

生成多项式	参数	生成多项式	参数
$x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1$	$[6,3]$	$x 4 + 2 x 2 + x + 2$	$[24,20]$
$x 5 + x 4 + 1$	$[78,73]$	$x 6 + 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 2$	$[240,234]$
$x 7 + x 6 + x 5 + 2 x 3 + 1$	$[726,719]$	$x 8 + x 7 + 2 x 5 + 2 x 2 + x + 2$	$[2184,13]$
$x 9 + x 8 + x 7 + 2 x 4 + 2 x 3 + x + 1$	$[6558,6549]$	$x 10 + x 9 + x 8 + 2 x 7 + x + 3 x + 2$	$[19680,19670]$

表2 最小距离是3的最优三元重根循环码

生成多项式	参数	生成多项式	参数
$x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1$	$[6,3]$	$x 4 + 2 x 2 + x + 2$	$[24,20]$
$x 5 + x 4 + 1$	$[78,73]$	$x 6 + 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 2$	$[240,234]$
$x 7 + x 6 + x 5 + 2 x 3 + 1$	$[726,719]$	$x 8 + x 7 + 2 x 5 + 2 x 2 + x + 2$	$[2184,13]$
$x 9 + x 8 + x 7 + 2 x 4 + 2 x 3 + x + 1$	$[6558,6549]$	$x 10 + x 9 + x 8 + 2 x 7 + x + 3 x + 2$	$[19680,19670]$

表3 最小距离是3的最优五元重根循环码

生成多项式	参数	生成多项式	参数
$x 3 + 4 x 2 + 4 x + 1$	$[10,7]$	$x 3 + x 2 + 3$	$[20,17]$
$x 4 + x 3 + 4 x 2 + 4$	$[60,56]$	$x 4 + 2 x 3 + 2$	$[120,116]$
$x 5 + 4 x 4 + 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 1$	$[310,305]$	$x 5 + 3 x 4 + 4 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 3$	$[620,615]$
$x 6 + x 5 + 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 4$	$[1560,1554]$	$x 6 + 3 x 5 + x 3 + 3 x 2 + 2$	$[3120,3114]$

表3 最小距离是3的最优五元重根循环码

生成多项式	参数	生成多项式	参数
$x 3 + 4 x 2 + 4 x + 1$	$[10,7]$	$x 3 + x 2 + 3$	$[20,17]$
$x 4 + x 3 + 4 x 2 + 4$	$[60,56]$	$x 4 + 2 x 3 + 2$	$[120,116]$
$x 5 + 4 x 4 + 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 1$	$[310,305]$	$x 5 + 3 x 4 + 4 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 3$	$[620,615]$
$x 6 + x 5 + 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 4$	$[1560,1554]$	$x 6 + 3 x 5 + x 3 + 3 x 2 + 2$	$[3120,3114]$

表4 最小距离是4的最优三元循环码

生成多项式	参数	生成多项式	参数
$x 4 + 2 x 3 + x 2 + x + 1$	$[8,4]$ *	$x 6 + x 5 + 2 x 4 + x 3 + x 2 + x + 2$	$[20,14]$
$x 6 + x 4 + x 3 + 2 x + 1$	$[24,18]$ *	$x 7 + x 6 + x 2 + x + 2$	$[40,33]$
$x 8 + 2 x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 2 + 2$	$[60,52]$	$x 7 + 2 x 5 + x 4 + x 3 + 2 x 2 + 2$	$[80,73]$ *
$x 9 + 2 x 8 + 2 x 7 + x 6 + x 4 + 2 x 3 + x 2 + 2$	$[120,111]$	$x 9 + x 8 + x 5 + x 4 + x 2 + 2 x + 2$	$[240,231]$
$x 10 + 2 x 9 + x 8 + x 7 + 2 x 5 + 2 x 4 + x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1$	$[182,172]$

表4 最小距离是4的最优三元循环码

生成多项式	参数	生成多项式	参数
$x 4 + 2 x 3 + x 2 + x + 1$	$[8,4]$ *	$x 6 + x 5 + 2 x 4 + x 3 + x 2 + x + 2$	$[20,14]$
$x 6 + x 4 + x 3 + 2 x + 1$	$[24,18]$ *	$x 7 + x 6 + x 2 + x + 2$	$[40,33]$
$x 8 + 2 x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 2 + 2$	$[60,52]$	$x 7 + 2 x 5 + x 4 + x 3 + 2 x 2 + 2$	$[80,73]$ *
$x 9 + 2 x 8 + 2 x 7 + x 6 + x 4 + 2 x 3 + x 2 + 2$	$[120,111]$	$x 9 + x 8 + x 5 + x 4 + x 2 + 2 x + 2$	$[240,231]$
$x 10 + 2 x 9 + x 8 + x 7 + 2 x 5 + 2 x 4 + x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1$	$[182,172]$

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几类最优重根循环码的构造

On the Construction of Several Classes of Optimal Repeated-Root Cyclic Codes

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