基于循环差集的最佳高斯整数序列构造

doi:10.12263/DZXB.20200239

摘要/Abstract

摘要：

最佳高斯整数序列应用于通信系统不仅能抑制干扰，还可获得高的传输速率和频谱利用率.本文基于循环差集给出了构造自由度为2的最佳高斯整数序列的充要条件，比较现有文献，可获得更高能量效率的最佳高斯整数序列.同时，利用上采样和过滤技术扩展了最佳高斯整数序列的长度和自由度.本文方法能得到大量适于高速通信系统的最佳高斯整数序列，扩展了通信地址码的选择范围.

关键词: 最佳高斯整数序列, 循环差集, 自由度, 能量效率

Abstract:

Perfect Gaussian integer sequences applied to communication systems can not only restrain disturbance, but also obtain high transmission rates and spectrum utilization. In this paper, the sufficient and necessary condition for constructing the perfect Gaussian integer sequences with 2-degree freedom is given based on the cyclic difference sets. The perfect Gaussian integer sequences with higher energy efficiency can be obtained compared to the existing literatures. The length and degree of freedom of the perfect Gaussian integer sequences are extended by up-sampling and filtering. A large number of perfect Gaussian integer sequences obtained in this paper are suitable for high speed communication applications, which expands the selection range of address codes.

Key words: perfect Gaussian integer sequences, cyclic difference sets, degree of freedom, energy efficiency

中图分类号:

TN911.2

刘凯, 倪佳. 基于循环差集的最佳高斯整数序列构造[J]. 电子学报, 2021, 49(8): 1474-1479.

Kai LIU, Jia NI . Construction of Perfect Gaussian Integer Sequences Based on Cyclic Difference Sets[J]. Acta Electronica Sinica, 2021, 49(8): 1474-1479.

图/表 3

表1 几类循环差集下定理1的参数约束条件

循环差集	充要条件	参数举例	解的个数
$(l 2 + l + 1, l + 1,1)$ ，l为素数	$A 2 + 2 l A B + (l 2 - l) B 2 = - (l 2 + l + 1) K 2$	$l = 2$ 时， $A 2 + 4 A B + 2 B 2 = - 7 K 2$	528
$(θ 3 + θ 2 + θ + 1, θ 2 + θ + 1, θ + 1)$ ， $θ$ 为素数	$(θ + 1) A 2 + 2 θ 3 A B + (θ 3 - θ 2) B 2 = - (θ 3 + θ 2 + θ + 1) K 2$	$θ = 3$ 时， $4 A 2 + 18 A B + 18 B 2 = - 40 K 2$	72
$p q, p q - 1 4, p q - 5 16$ ， p和 $q = 3 p + 2$ 为素数	$p q - 5 16 A 2 + 3 p q + 1 8 A B + 30 - 9 p q 16 B 2 = - p q K 2$	$p = 5, q = 17$ 时， $5 A 2 + 32 A B + 48 B 2 = - 85 K 2$	4
$q m + 2 - 1 q - 1, q m + 1 - 1 q - 1, q m - 1 q - 1$ ， q为素数幂， $m ≥ 1$	$q m - 1 q - 1 A 2 + 2 (q m + 1 - q m) q - 1 A B + q m + 2 - 2 q m + 1 + q m q - 1 B 2 = 1 - q m + 2 q - 1 K 2$	$q = 4, m = 2$ 时， $5 A 2 + 32 A B + 48 B 2 = - 85 K 2$	4
$p, p - 1 2, p - 3 4$ ， $p ≡ 3 (m o d 4)$	$p - 3 4 A 2 + p + 1 2 A B + p + 1 4 B 2 = - p K 2$	$p = 19$ 时， $4 A 2 + 10 A B + 5 B 2 = - 19 K 2$	328
$(2 t - 1, 2 t - 1 - 1, 2 t - 2 - 1)$ ， $t ≥ 2$	$(2 t - 2 - 1) A 2 + (2 t - 2 t - 1) A B + 2 t - 2 B 2 = (1 - 2 t) K 2$	$t = 6$ 时， $15 A 2 + 32 A B + 16 B 2 = - 63 K 2$	36
$l, l - 1 2, l - 3 4$ ， $l = p (p + 2)$ ， p和 $q = p + 2$ 为素数	$l - 3 4 A 2 + l + 1 2 A B + l + 1 4 B 2 = - l K 2$	$l = 15$ 时， $3 A 2 + 8 A B + 4 B 2 = - 15 K 2$	216
$p, p - 1 2, p - 3 4$ ， $p = 4 s 2 + 27$ 为素数	$p - 3 4 A 2 + p + 1 2 A B + p + 1 4 B 2 = - p K 2$	$p = 31$ 时， $7 A 2 + 16 A B + 8 B 2 = - 31 K 2$	112

表1 几类循环差集下定理1的参数约束条件

循环差集	充要条件	参数举例	解的个数
$(l 2 + l + 1, l + 1,1)$ ，l为素数	$A 2 + 2 l A B + (l 2 - l) B 2 = - (l 2 + l + 1) K 2$	$l = 2$ 时， $A 2 + 4 A B + 2 B 2 = - 7 K 2$	528
$(θ 3 + θ 2 + θ + 1, θ 2 + θ + 1, θ + 1)$ ， $θ$ 为素数	$(θ + 1) A 2 + 2 θ 3 A B + (θ 3 - θ 2) B 2 = - (θ 3 + θ 2 + θ + 1) K 2$	$θ = 3$ 时， $4 A 2 + 18 A B + 18 B 2 = - 40 K 2$	72
$p q, p q - 1 4, p q - 5 16$ ， p和 $q = 3 p + 2$ 为素数	$p q - 5 16 A 2 + 3 p q + 1 8 A B + 30 - 9 p q 16 B 2 = - p q K 2$	$p = 5, q = 17$ 时， $5 A 2 + 32 A B + 48 B 2 = - 85 K 2$	4
$q m + 2 - 1 q - 1, q m + 1 - 1 q - 1, q m - 1 q - 1$ ， q为素数幂， $m ≥ 1$	$q m - 1 q - 1 A 2 + 2 (q m + 1 - q m) q - 1 A B + q m + 2 - 2 q m + 1 + q m q - 1 B 2 = 1 - q m + 2 q - 1 K 2$	$q = 4, m = 2$ 时， $5 A 2 + 32 A B + 48 B 2 = - 85 K 2$	4
$p, p - 1 2, p - 3 4$ ， $p ≡ 3 (m o d 4)$	$p - 3 4 A 2 + p + 1 2 A B + p + 1 4 B 2 = - p K 2$	$p = 19$ 时， $4 A 2 + 10 A B + 5 B 2 = - 19 K 2$	328
$(2 t - 1, 2 t - 1 - 1, 2 t - 2 - 1)$ ， $t ≥ 2$	$(2 t - 2 - 1) A 2 + (2 t - 2 t - 1) A B + 2 t - 2 B 2 = (1 - 2 t) K 2$	$t = 6$ 时， $15 A 2 + 32 A B + 16 B 2 = - 63 K 2$	36
$l, l - 1 2, l - 3 4$ ， $l = p (p + 2)$ ， p和 $q = p + 2$ 为素数	$l - 3 4 A 2 + l + 1 2 A B + l + 1 4 B 2 = - l K 2$	$l = 15$ 时， $3 A 2 + 8 A B + 4 B 2 = - 15 K 2$	216
$p, p - 1 2, p - 3 4$ ， $p = 4 s 2 + 27$ 为素数	$p - 3 4 A 2 + p + 1 2 A B + p + 1 4 B 2 = - p K 2$	$p = 31$ 时， $7 A 2 + 16 A B + 8 B 2 = - 31 K 2$	112

表2 基于循环差集的具有高能量效率的序列举例

L	η	$(v, k, λ)$ 循环差集	$(A + i K, B + i K)$
15	98.4%	（15，7，3）	（-62+16i，61+16i）
35	95.1%	（35，17，8）	（-18+3i，19+3i）
39	95.4%	（39，19，9）	（-19+3i，20+3i）
51	97.8%	（51，25，12）	（-43+6i，44+6i）
63	97.1%	（63，31，15）	（-32+4i，33+4i）

表2 基于循环差集的具有高能量效率的序列举例

L	η	$(v, k, λ)$ 循环差集	$(A + i K, B + i K)$
15	98.4%	（15，7，3）	（-62+16i，61+16i）
35	95.1%	（35，17，8）	（-18+3i，19+3i）
39	95.4%	（39，19，9）	（-19+3i，20+3i）
51	97.8%	（51，25，12）	（-43+6i，44+6i）
63	97.1%	（63，31，15）	（-32+4i，33+4i）

表3 相同循环差集下的最佳高斯整数序列及其能量效率的对比

$(v, k, λ)$		（7，3，1）	（15，7，3）	（19，9，4）	（67，33，16）	（71，35，17）
循环差集举例		｛1，2，4｝	｛0，1，2，4，5，8，10｝	｛1，4，5，6，7，9，11，16，17｝	｛1，4，6，9，10，14，15，16，17，19，21，22，23，24，25，27，29，33，35，36，37，39，40，47，49，54，55，56，59，60，62，64，65｝	｛1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，16，18，19，20，24，25，27，29，30，32，36，37，38，40，43，45，48，49，50，54，57，58，60，64｝
$(α D, α D C)$	［14］	×	$(8802 + 1688 i, - 4401 - 10227 i)$	×	×	×
	［15］	$(1 + i, - i)$	$(- 2 x - 2 i y, x + i y)$	$(- (2 x - y) - i (2 y + x), 2 x + 2 i y)$	$(- (4 x - y) - i (4 y + x), 4 x + 4 i y)$	$(3 - 3 i, - 3 + 2 i)$
	［16］	$(3 + i, - 4 + i)$	$(8 + 2 i, - 7 + 2 i)$	$(12 + i, - 11 + i)$	$(38 + i, - 37 + i)$	$(39 + 3 i, - 38 + 3 i)$
	本文	$(45 + 17 i, - 44 + 17 i)$	$(- 62 + 16 i, 61 + 16 i)$	$(- 48 + 11 i, 49 + 11 i)$	$(434 + 53 i, - 431 + 53 i)$	$(- 177 + 21 i, 176 + 21 i)$
能量效率 $η$	［14］	×	99.99%	×	×	×
	［15］	71.4%	60%	89.5%	97%	89.5%
	［16］	82.4%	88.2%	91.6%	97.4%	97.5%
	本文	97.8%	98.4%	98.2%	99.3%	99.4%

表3 相同循环差集下的最佳高斯整数序列及其能量效率的对比

$(v, k, λ)$		（7，3，1）	（15，7，3）	（19，9，4）	（67，33，16）	（71，35，17）
循环差集举例		｛1，2，4｝	｛0，1，2，4，5，8，10｝	｛1，4，5，6，7，9，11，16，17｝	｛1，4，6，9，10，14，15，16，17，19，21，22，23，24，25，27，29，33，35，36，37，39，40，47，49，54，55，56，59，60，62，64，65｝	｛1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，16，18，19，20，24，25，27，29，30，32，36，37，38，40，43，45，48，49，50，54，57，58，60，64｝
$(α D, α D C)$	［14］	×	$(8802 + 1688 i, - 4401 - 10227 i)$	×	×	×
	［15］	$(1 + i, - i)$	$(- 2 x - 2 i y, x + i y)$	$(- (2 x - y) - i (2 y + x), 2 x + 2 i y)$	$(- (4 x - y) - i (4 y + x), 4 x + 4 i y)$	$(3 - 3 i, - 3 + 2 i)$
	［16］	$(3 + i, - 4 + i)$	$(8 + 2 i, - 7 + 2 i)$	$(12 + i, - 11 + i)$	$(38 + i, - 37 + i)$	$(39 + 3 i, - 38 + 3 i)$
	本文	$(45 + 17 i, - 44 + 17 i)$	$(- 62 + 16 i, 61 + 16 i)$	$(- 48 + 11 i, 49 + 11 i)$	$(434 + 53 i, - 431 + 53 i)$	$(- 177 + 21 i, 176 + 21 i)$
能量效率 $η$	［14］	×	99.99%	×	×	×
	［15］	71.4%	60%	89.5%	97%	89.5%
	［16］	82.4%	88.2%	91.6%	97.4%	97.5%
	本文	97.8%	98.4%	98.2%	99.3%	99.4%

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